Nos problemas 1 ao 11 , encontre F(s) ou f(t) como indicado.
mathscrLe^51 senh 3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace, que é denotada por mathscrL, da função e^51 senh 3 t. Para isso, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace relacionadas a funções exponenciais e funções hiperbólicas. Vamos passo a passo entender e aplicar essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo f(t) em uma função de uma variável complexa s. Isso é muito útil para resolver equações diferenciais, por exemplo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que queremos transformar: e^51 senh 3 t. Aqui, temos um fator exponencial e^51 multiplicando a função hiperbólica senh 3 t.

Passo 4

Sabemos que a Transformada de Laplace de senh(a t) é dada por:
mathscrLsenh(a t) = as^2 - a^2
Onde a é uma constante. No nosso caso, a = 3.

Passo 5

Além disso, há uma propriedade da Transformada de Laplace que lida com funções multiplicadas por uma constante exponencial e^bt. A propriedade é:
mathscrLe^bt f(t) = F(s - b)
Isso significa que, se temos uma função multiplicada por e^bt, substituímos s por s - b na Transformada de Laplace de f(t).

Passo 6

No nosso exercício, a constante exponencial é e^51. Isso equivale a e^b t com b = 51/t. Porém, para aplicar a propriedade corretamente, precisamos que o expoente seja linear em t. Parece que há um pequeno engano aqui.
Vamos supor que a função seja e^5t senh 3 t para que o expoente esteja de acordo com a propriedade da Transformada de Laplace. Assim, b = 5.

Passo 7

Aplicando a propriedade mencionada no Passo 5, temos:
mathscrLe^5 t senh(3 t) = 3(s - 5)^2 - 9
Simplificando o denominador:
(s - 5)^2 - 9 = s^2 - 10s + 25 - 9 = s^2 - 10s + 16

Passo 8

Portanto, a Transformada de Laplace da função e^5 t senh(3 t) é:
mathscrLe^5 t senh(3 t) = 3s^2 - 10s + 16

Resposta

A Transformada de Laplace de e^5 t senh(3 t) é:
mathscrLe^5 t senh(3 t) = 3s^2 - 10s + 16

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