Nos problemas 1 ao 11 , encontre
ou
como indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace, que é denotada por
, da função
. Para isso, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace relacionadas a funções exponenciais e funções hiperbólicas. Vamos passo a passo entender e aplicar essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função do tempo
em uma função de uma variável complexa
. Isso é muito útil para resolver equações diferenciais, por exemplo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que queremos transformar:
. Aqui, temos um fator exponencial
multiplicando a função hiperbólica
.
Passo 4
Sabemos que a Transformada de Laplace de
é dada por:
Onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Passo 5
Além disso, há uma propriedade da Transformada de Laplace que lida com funções multiplicadas por uma constante exponencial
. A propriedade é:
Isso significa que, se temos uma função multiplicada por
, substituímos
por
na Transformada de Laplace de
.
Passo 6
No nosso exercício, a constante exponencial é
. Isso equivale a
com
. Porém, para aplicar a propriedade corretamente, precisamos que o expoente seja linear em
. Parece que há um pequeno engano aqui.
Vamos supor que a função seja
para que o expoente esteja de acordo com a propriedade da Transformada de Laplace. Assim,
.
Passo 7
Aplicando a propriedade mencionada no Passo 5, temos:
Simplificando o denominador:
Passo 8
Portanto, a Transformada de Laplace da função
é:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: