Nos problemas 1 ao 11, encontre F(s) ou f(t) como indicado.
mathscrLe^5 t senh 3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função e^5 t sinh(3 t) . Isso envolve usar as propriedades de transformadas de Laplace, especialmente para funções exponenciais e senos hiperbólicos. Vamos precisar lembrar da fórmula que relaciona essas funções para aplicar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
mathscrLf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
Isso transforma a função do domínio do tempo t para o domínio da frequência s .

Passo 3

Agora, especificamente para e^a t sinh(b t) , existe uma fórmula que facilita a nossa vida. A transformada de Laplace dessa função é:
mathscrLe^a t sinh(b t) = b(s - a)^2 - b^2
Essa fórmula combina a transformada de uma exponencial com a de um seno hiperbólico.

Passo 4

No nosso caso, temos a = 5 e b = 3 . Vamos substituir esses valores na fórmula:
mathscrLe^5 t sinh(3 t) = 3(s - 5)^2 - 3^2

Passo 5

Vamos simplificar o denominador:
(s - 5)^2 - 3^2 = (s - 5)^2 - 9 = s^2 - 10s + 25 - 9 = s^2 - 10s + 16
Então, a expressão fica:
3s^2 - 10s + 16

Resposta

A transformada de Laplace é
mathscrLe^5 t sinh(3 t) = 3s^2 - 10s + 16

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