Nos Problemas 12 a 17, encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O método de “coeficientes a determinar” diz que a solução geral é
onde
é a solução da homogênea associada e
é uma particular que satisfaz a não homogênea.
Passo 2
Encontramos
resolvendo a equação característica
O discriminante é
, logo há raiz dupla
Para raiz dupla, a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos
para a parte direita
. Como o termo forçante é um polinômio de grau 1 e
não é raiz da característica, supomos
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituímos em
Reescrevendo,
Igualando coeficientes de
e de termo constante:
Da primeira vem (A = 2]. Substituindo na segunda:
Logo
Logo
Resposta
A solução geral é
onde
C1 e
C2 são constantes arbitrárias.