Nos Problemas 12 a 17, encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
y^prime prime-10 y^prime+25 y=50 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 10,y' + 25,y = 50,x
O método de “coeficientes a determinar” diz que a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução da homogênea associada e yp é uma particular que satisfaz a não homogênea.

Passo 2

Encontramos yh resolvendo a equação característica
r^2 - 10r + 25 = 0
O discriminante é De<a = (-10)^2 - 4cdot1cdot25 = 100 - 100 = 0, logo há raiz dupla
r = 102 = 5
Para raiz dupla, a solução homogênea é
yh(x) = (C1 + C2,x)e^5x

Passo 3

Agora buscamos yp para a parte direita 50x. Como o termo forçante é um polinômio de grau 1 e 0 não é raiz da característica, supomos
yp(x) = A,x + B
Calculamos as derivadas:
yp'(x) = A, yp''(x) = 0

Passo 4

Substituímos em
Reescrevendo,
Igualando coeficientes de e de termo constante:
Da primeira vem (A = 2]. Substituindo na segunda:

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Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = (C1 + C2,x)e^5x + 2x + tfrac45,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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