Questão 5(1,0) : Calcule a área da superfície parametrizada por
r(u, v)=(u^2, u v, v^22), u in[0,1], v in[0,2]

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada por
vec r(u,v) = l(u^2,;u,v,;tfracv^22r), (u,v)in[0,1]times[0,2]
Para isso usaremos a fórmula
A = integral duplaD l|vec ru times vec rvr|,du,dv,
isto é, precisamos calcular as derivadas parciais, seu produto vetorial e integrar a norma.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
vec ru = l(partialpartial uu^2,;partialpartial u(u,v),;partialpartial utfracv^22r) = (2u,;v,;0),
vec rv = l(partialpartial vu^2,;partialpartial v(u,v),;partialpartial vtfracv^22r) = (0,;u,;v)

Passo 3

O produto vetorial é
ru times rv = i & j & k [6pt] 2u & v & 0 [3pt] 0 & u & v = (v^2),i ;-;(2u,v),j;+;(2u^2),k
Sua norma é
l|ru times rvr| = raiz(v^2)^2 + (-2u,v)^2 + (2u^2)^2 = raizv^4 + 4u^2v^2 + 4u^4 = v^2 + 2u^2 ]

Passo 4

Portanto
A = integralu=0^1!integralv=0^2 l(v^2 + 2u^2r),dv,du

Passo 5

Calculemos primeiro a integral em v:
integral0^2 l(v^2 + 2u^2r),dv = integral0^2 v^2,dv ;+;2u^2integral0^2dv = 2^33 + 2u^2cdot2 = 83 + 4u^2

Passo 6

Agora a integral em u:
integral0^1 l(83 + 4u^2r),du = 83l[ur]0^1 + 4l[tfracu^33r]0^1 = 83 + 43 = 4

Resposta

A área da superfície é 4.

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