Encontre a solução do problema de valor inicial
2 y^prime prime-3 y^prime+y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-12.
Depois, determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto onde a solução se anula.

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
2,y''-3,y'+y=0,
sujeita a
y(0)=2, y'(0)=-tfrac12
Vamos resolver em quatro etapas: (1) achar a solução geral via equação característica, (2) determinar as constantes pelos dados iniciais, (3) localizar o ponto crítico para achar o máximo e (4) achar a raiz da solução.

Passo 2

Escrevendo a equação característica, trocamos ymapsto e^r x:
2r^2-3r+1=0
Resolvendo:
r=3pmraiz9-84 =3pm14,
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r1=1, r2=tfrac12
A solução geral é
y(x)=C1e^x+C2e^x/2

Passo 3

Calculamos
Depois, derivando,
Resolvendo o sistema
subtraindo a segunda da primeira obtemos e . Assim,

Passo 4

Para achar o máximo, buscamos xc tal que y'(xc)=0:
y'(x)=-3e^x+tfrac52e^x/2=0 Longrightarrow -3e^x/2+tfrac52=0 Longrightarrow e^x/2=tfrac56
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xc=2ln!l(tfrac56r)

Passo 5

O valor máximo é y(xc). Como e^xc/2=5/6 e e^xc=(5/6)^2=25/36, temos
y(xc)=-3cdottfrac2536+5cdottfrac56 =-tfrac7536+tfrac15036 =tfrac7536 =tfrac2512

Passo 6

Para achar onde y(x)=0, resolvemos
-3e^x+5e^x/2=0 Longrightarrow 5e^x/2=3e^x Longrightarrow e^x/2=tfrac53,
x=2ln!l(tfrac53r)

Resposta

A solução é
y(x)=-3e^x+5e^x/2
O valor máximo é ymax=tfrac2512 em x=2ln(tfrac56).
A solução se anula em x=2ln(tfrac53).

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