Encontre a solução do problema de valor inicial
.
Depois, determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto onde a solução se anula.
Depois, determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto onde a solução se anula.
Passo 1
O enunciado é um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
sujeita a
Vamos resolver em quatro etapas: (1) achar a solução geral via equação característica, (2) determinar as constantes pelos dados iniciais, (3) localizar o ponto crítico para achar o máximo e (4) achar a raiz da solução.
Passo 2
Escrevendo a equação característica, trocamos
:
Resolvendo:
logo
A solução geral é
Passo 3
Calculamos
Depois, derivando,
Resolvendo o sistema
subtraindo a segunda da primeira obtemos e
. Assim,
Passo 4
Para achar o máximo, buscamos
tal que
:
Logo
Passo 5
O valor máximo é
. Como
e
, temos
Passo 6
Para achar onde
, resolvemos
Resposta
A solução é
O valor máximo é
em
.
A solução se anula em .
A solução se anula em