Sabendo que a matriz de uma transformação linear T: R^2 R^3 nas bases alpha=(-1,1),(1,0) do R^2 e beta=(1,1,-1),(2,1,0),(3,0,1) do R^3 é
[T]beta^alpha=[cc 3 & 1 2 & 5 1 & -1 ]
Encontre a expressão de T(x, y) e a matriz [T].
Observação: a escrita [T] significa que as bases consideradas, tanto no domínio quanto no contradomínio, são canônicas.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear TcolonR^2toR^3 cujo matriz em relação às bases
alpha=u1,u2 de R^2 com u1=(-1,1), u2=(1,0) e
beta=v1,v2,v3 de R^3 com
v1=(1,1,-1), v2=(2,1,0), v3=(3,0,1) é
[T]beta^alpha = 3 & 1 2 & 5 1 & -1
Isso significa que
T(u1)=3,v1+2,v2+1,v3, T(u2)=1,v1+5,v2-1,v3
Queremos (i) a fórmula de T(x,y) em coordenadas canônicas e (ii) a matriz canônica [T].

Passo 2

Calcular as imagens de u1 e u2 em coordenadas canônicas somando as combinações:
T(u1) =3(1,1,-1)+2(2,1,0)+1(3,0,1) =(3+4+3,;3+2+0,;-3+0+1) =(10,5,-2),
T(u2) =1(1,1,-1)+5(2,1,0)-1(3,0,1) =(1+10-3,;1+5-0,;-1+0-1) =(8,6,-2)

Passo 3

Expressar um vetor genérico (x,y) como combinação de u1 e u2. Buscamos escalares a,b tais que
a,(-1,1)+b,(1,0)=(x,y)
Isso dá o sistema
-x-coord: -a + b = x, y-coord: a = y
Logo a=y e b = x+y. Assim
(x,y) = y,u1 + (x+y),u2

Passo 4

Usar linearidade para obter T(x,y):
T(x,y) = y,T(u1) + (x+y),T(u2) = y,(10,5,-2)+(x+y),(8,6,-2)
Somando coordenada a coordenada:
T(x,y) =(10y+8x+8y,;5y+6x+6y,;-2y-2x-2y) =(8x+18y,;6x+11y,;-2x-4y)

Passo 5

A expressão T(x,y)=(8x+18y,;6x+11y,;-2x-4y) mostra que, na base canônica, a matriz de T é
[T] = 8 & 18 6 & 11 -2 & -4 ,
pois multiplica o vetor coluna l(x,yr).

Resposta

A transformação é
T(x,y)=(8x+18y,;6x+11y,;-2x-4y),
e a matriz canônica é
[T] = 8 & 18 6 & 11 -2 & -4

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