Seja uma reta no espaço tridimensional. Prove que a curvatura de em todo ponto é zero.
Passo 1
Estamos diante de uma reta no espaço tridimensional. O conteúdo que vamos usar é a definição de curvatura para curvas parametrizadas pelo comprimento de arco: se é a posição em função de , o parâmetro de arco, então a curvatura é dada por , onde T(s) é o vetor tangente unitário. Para resolver, precisaremos parametrizar C por comprimento de arco e aplicar essa definição.
Passo 2
Como C é uma reta, podemos escolher uma parametrização por arco do tipo
r(s)= p0+ v,s
onde p0 é um ponto fixo em C e v é um vetor de direção unitário (isto garante que s já seja comprimento de arco, ou seja, lVert r'(s)rVert=1).
Passo 3
Calculamos o vetor tangente:
T(s)= r'(s)= v
Como v é constante, sua derivada em relação a s é nula: tfracd Tds= 0.
Passo 4
Finalmente, aplicamos a definição de curvatura:
kappa(s)=llVertd TdsrrVert=lVert 0rVert=0
Logo, em todo ponto da reta C, a curvatura vale zero.