Seja C uma reta no espaço tridimensional. Prove que a curvatura de C em todo ponto é zero.

Passo 1

Estamos diante de uma reta C no espaço tridimensional. O conteúdo que vamos usar é a definição de curvatura para curvas parametrizadas pelo comprimento de arco: se r(s) é a posição em função de s, o parâmetro de arco, então a curvatura é dada por kappa(s)=llVerttfracd TdsrrVert, onde T(s) é o vetor tangente unitário. Para resolver, precisaremos parametrizar C por comprimento de arco e aplicar essa definição.

Passo 2

Como C é uma reta, podemos escolher uma parametrização por arco do tipo
r(s)= p0+ v,s
onde p0 é um ponto fixo em C e v é um vetor de direção unitário (isto garante que s já seja comprimento de arco, ou seja, lVert r'(s)rVert=1).

Passo 3

Calculamos o vetor tangente:
T(s)= r'(s)= v
Como v é constante, sua derivada em relação a s é nula: tfracd Tds= 0.

Passo 4

Finalmente, aplicamos a definição de curvatura:
kappa(s)=llVertd TdsrrVert=lVert 0rVert=0
Logo, em todo ponto da reta C, a curvatura vale zero.

Resposta

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