Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dados.
3. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{-\cos t}{\operatorname{sen} t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x} + \mathbf{f}(t),
onde
A = \begin{pmatrix}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix}, \quad \mathbf{f}(t) = \begin{pmatrix}-\cos t \\\ \sin t\end{pmatrix}.
O conteúdo é EDO linear de primeira ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo periódico. Vamos achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
\mathbf{x}_h' = A\,\mathbf{x}_h.
O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) = \lambda^2 +1 =0,
portanto \lambda = \pm i. As soluções complexas são da forma e^{\pm i t}, e um vetor próprio para \lambda = i satisfaz
(A - iI)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2 - i & -5 \\\\ 1 & -2 - i\end{pmatrix}v = 0.
Escolhendo v = \begin{pmatrix}2+i \\\\ 1\end{pmatrix}, obtemos uma base real para a solução homogênea:
\mathbf{x}_h(t) = C_1 \Re\bigl(v e^{i t}\bigr) + C_2 \Im\bigl(v e^{i t}\bigr).
Calculando \Re e \Im, chegamos a
\mathbf{x}_h(t) = C_1 \begin{pmatrix}2\cos t -\sin t \\\ \cos t\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}\,\sin t +2\cos t \\\ \sin t\end{pmatrix}.

Passo 3

Para a parte particular, derivamos uma equação de segunda ordem para x_2(t). Do segundo componente temos
x_2' = x_1 -2x_2 + \sin t \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2' +2x_2 -\sin t.
Derivando de novo,
x_2'' = x_1' -2x_2' + \cos t.
Mas x_1' = 2x_1 -5x_2 -\cos t. Substituindo x_1 e x_1' em x_2'' obtemos
x_2'' + x_2 = -2\sin t.

Passo 4

A homogênea de ordem dois é x_{2h}'' + x_{2h}=0, com solução x_{2h}=C_1\cos t + C_2\sin t. Para o particular tentamos
x_{2p}(t) = t\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr).
Calculando x_{2p}'' + x_{2p} e igualando a -2\sin t A=1 e B=0. Logo
x_{2p}(t) = t\cos t.

Passo 5

Voltando a x_1,
x_1 = x_2' + 2x_2 -\sin t.
Substituindo x_2 = C_1\cos t + C_2\sin t + t\cos t e sua derivada, chega-se a
x_1(t) = C_1\bigl(2\cos t -\sin t\bigr) + C_2\bigl(\cos t +2\sin t\bigr) + \bigl(\cos t -\sin t\bigr) + t\bigl(2\cos t -\sin t\bigr).

Passo 6

Juntando homogênea e particular, a solução geral é
\mathbf{x}(t) = C_1 \begin{pmatrix}2\cos t -\sin t \\\ \cos t\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}\cos t +2\sin t \\\ \sin t\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\cos t -\sin t \\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\cos t -\sin t \\\ \cos t\end{pmatrix}.

Resposta

\boxed{ \mathbf{x}(t) = C_1 \begin{pmatrix}2\cos t -\sin t \\\ \cos t\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}\cos t +2\sin t \\\ \sin t\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\cos t -\sin t \\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\cos t -\sin t \\\ \cos t\end{pmatrix}. }

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