Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dados.
5. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & -2 \\\\ 8 & -4\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{t^{-3}}{-t^{-2}}, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x} + \mathbf{g}(t),\quad A = \begin{pmatrix}4 & -2\\[6pt]8 & -4\end{pmatrix},\quad \mathbf{g}(t)=\begin{pmatrix}t^{-3}\\[3pt]-\,t^{-2}\end{pmatrix},\quad t>0.
O objetivo é achar a solução geral \mathbf{x}(t)=(x_1(t),x_2(t))^T. Vamos usar uma combinação linear para “desacoplar” o sistema e resolver duas EDOs de primeira ordem.]

Passo 2

Defina
y(t) = x_2(t)\;-\;2\,x_1(t).
Então
y'(t) = x_2'(t)\;-\;2\,x_1'(t) = \bigl(8x_1-4x_2 - t^{-2}\bigr)\;-\;2\bigl(4x_1-2x_2 + t^{-3}\bigr).
Como 8x_1-4x_2 -2(4x_1-2x_2)=0, sobra
y'(t) = -\,t^{-2}\;-\;2\,t^{-3}.

Passo 3

Integramos
y'(t) = -\,t^{-2} -2\,t^{-3},
logo
y(t) = \int\bigl(-t^{-2}-2t^{-3}\bigr)\,dt = t^{-1}+t^{-2} + K,
onde K é constante de integração.

Passo 4

Da definição de y, temos x_2=2x_1+y. Substitua em
x_1' = 4x_1 - 2x_2 + t^{-3}
para obter uma EDO só em x_1:
x_1' = 4x_1 -2\,(2x_1 + y) + t^{-3} = -2\,y + t^{-3}.
Usando y=t^{-1}+t^{-2}+K, dá
x_1' = -2\bigl(t^{-1}+t^{-2}+K\bigr) + t^{-3} = -2K \;-\;2\,t^{-1} \;-\;2\,t^{-2} \;+\; t^{-3}.

Passo 5

Integre a EDO de x_1. Escreva C_2=-2K e
x_1'(t)= C_2 -2t^{-1} -2t^{-2} + t^{-3}.
Logo
x_1(t) = \int\bigl(C_2 -2t^{-1} -2t^{-2} + t^{-3}\bigr)\,dt = C_1 + C_2\,t \;-\;2\ln t \;+\;2\,t^{-1}\;-\;\tfrac12\,t^{-2},
onde C_1 é outra constante de integração.

Passo 6

Agora recupere x_2 por
x_2 = 2\,x_1 + y = 2\Bigl(C_1 + C_2t -2\ln t +2t^{-1} -\tfrac12 t^{-2}\Bigr) + \bigl(t^{-1}+t^{-2}+K\bigr).
Substituindo K=-\tfrac12C_2 e agrupando termos, obtém-se
x_2(t) = 2C_1 + C_2\Bigl(2t-\tfrac12\Bigr) \;-\;4\ln t \;+\;5\,t^{-1}.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} x_1(t) &= C_1 + C_2\,t \;- 2\ln t \;+ 2\,t^{-1}\;- \tfrac12\,t^{-2},\\[6pt] x_2(t) &= 2C_1 \;+ C_2\Bigl(2t-\tfrac12\Bigr) \;- 4\ln t \;+ 5\,t^{-1}, \end{aligned} }
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.]

Exercícios relacionados