Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dados.
6. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 2 \\\\ 2 & -1\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{t^{-1}}{2 t^{-1}+4}, \quad t>0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
O conteúdo aqui é sistemas lineares com termo não homogêneo. Vamos primeiro achar a solução geral do sistema homogêneo e depois usar o método de variação dos parâmetros para obter uma particular.]
Passo 2
Estudamos o sistema homogêneo \mathbf{x}'=A\mathbf{x}\). Os autovalores de \(A\) satisfazem
\[\det(A-\lambda I)=(-4-\lambda)(-1-\lambda)-4= \lambda^2+5\lambda=0
logo \lambda_1=0 e \lambda_2=-5. Para \lambda_1=0 resolvemos