\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-\frac{d^{3} y}{d x^{3}} =x+e^{x} \y(0) =0, y^{\prime}(0)=0 \y^{\prime \prime}(0) =0, y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O problema é resolver a equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{4}y}{dx^{4}}-\frac{d^{3}y}{dx^{3}}=x+e^x
sujeita às condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0,\quad y'''(0)=0.
O método é: (1) achar a solução geral da parte homogênea, (2) obter uma particular por coeficientes indeterminados, e (3) ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea
y^{(4)}-y^{(3)}=0
e montamos o polinômio característico
r^4-r^3=r^3(r-1)=0,
cuja raiz r=0 tem multiplicidade 3 e r=1 tem multiplicidade 1. Logo a solução homogênea é
y_h = C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + C_4 e^x.

Passo 3

Para a parte não homogênea x+e^x usamos coeficientes indeterminados separadamente:
  1. Para o termo polinomial x, como r=0 já aparece com multiplicidade 3, multiplicamos um polinômio de grau 1 por x^3. O ensaio é
y_{p1} = a\,x^4 + b\,x^3.
  1. Para o termo e^x, como r=1 é raiz simples, multiplicamos por x. O ensaio é
y_{p2} = C\,x\,e^x.

Passo 4

Substituímos y_{p1}=a x^4+b x^3 em y^{(4)}-y^{(3)}. Calcula-se
y_{p1}'''=24a x+6b,\quad y_{p1}^{(4)}=24a,
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L[y_{p1}]=y_{p1}^{(4)}-y_{p1}'''=24a-(24a x+6b)=-24a\,x+(24a-6b).
Igualando a x (o termo polinomial da fonte), obtemos
-24a=1,\quad 24a-6b=0
\Rightarrow a=-\frac1{24},\quad b=-\frac16.

Passo 5

Substituímos y_{p2}=C x e^x. Calcula-se em L[y]=y^{(4)}-y^{(3)}
y_{p2}'''=C e^x(x+3),\quad y_{p2}^{(4)}=C e^x(x+4)
L[y_{p2}]=C e^x\bigl((x+4)-(x+3)\bigr)=C e^x.
Para reproduzir e^x da fonte, basta C=1.

Passo 6

A solução geral é
y = y_h + y_{p1}+y_{p2} = C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + C_4 e^x -\frac{1}{24}x^4 - \frac{1}{6}x^3 + x e^x.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais em y,y',y'',y''' em x=0. O cálculo leva a um sistema linear que dá
C_4=-2,\quad C_2=1,\quad C_3=0,\quad C_1=2.

Resposta

\boxed{y(x)=2 + x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^4}{24} + (x-2)e^x.}

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