Passo 1
O problema é resolver a equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
O método é: (1) achar a solução geral da parte homogênea, (2) obter uma particular por coeficientes indeterminados, e (3) ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação homogênea
e montamos o polinômio característico
cuja raiz
tem multiplicidade 3 e
tem multiplicidade 1. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea
usamos coeficientes indeterminados separadamente:
- Para o termo polinomial
, como já aparece com multiplicidade 3, multiplicamos um polinômio de grau 1 por . O ensaio é
- Para o termo
, como é raiz simples, multiplicamos por . O ensaio é
Passo 4
Substituímos
em
. Calcula-se
logo
Igualando a
(o termo polinomial da fonte), obtemos
Passo 5
Substituímos
. Calcula-se em
Para reproduzir
da fonte, basta
.
Passo 6
A solução geral é
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais em
em
. O cálculo leva a um sistema linear que dá