Questão 6. A equação
é conhecida como equação de Chebyshev de primeiro tipo.
a. Mostre que a solução geral da equação de Chebyshev é
em que
b. Mostre que se
for um inteiro par não negativo então uma das soluções em série termina e torna-se um polinômio de grau
contendo apenas potências pares de
.
c. Mostre que se
for um inteiro ímpar não negativo então uma das soluções em série termina e torna-se um polinômio de grau
contendo apenas potências ímpares de
.
d. O polinômio de Chebyshev de primeiro tipo
é definido como a solução polinomial da equação de Chebyshev de primeiro tipo, para
, tal que o coeficiente de
é igual a 1 , se
e igual a
, se
. Determine os polinômios de Chebyshev de primeiro tipo para
.
a. Mostre que a solução geral da equação de Chebyshev é
c. Mostre que se
d. O polinômio de Chebyshev de primeiro tipo
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Chebyshev de 1º tipo
e pede:
a) mostrar que a solução geral pode ser escrita como
a) mostrar que a solução geral pode ser escrita como
com
b) provar que, para
, a solução par torna-se um polinômio de grau
em potências pares;
c) provar que, para , a solução ímpar torna-se um polinômio de grau
em potências ímpares;
d) normalizar estes polinômios para com coeficiente líder igual a
se
e igual a
se
, e obter
para
.
Para resolver vamos usar o método de série de potências centrada em .
c) provar que, para
d) normalizar estes polinômios para
Para resolver vamos usar o método de série de potências centrada em
Passo 2
Suponha
Então
Substituindo em
e coletando o coeficiente de
obtemos a relação de recorrência
isto é
Passo 3
Dessa recorrência deduzimos duas famílias de coeficientes:
- Para a solução par tomamos
e livre. Assim e
Normalizando
obtemos
- Para a solução ímpar tomamos
e livre. Assim e
Normalizando
obtemos
Logo a solução geral é
Passo 4
Se
(
inteiro não negativo), ao calcular
vemos que o numerador
anula-se para
, isto é
. Portanto
Assim
torna-se um polinômio de grau
em potências pares de
.
Passo 5
Se
(
inteiro não negativo), ao calcular
o numerador
anula-se para
, ou seja
. Logo
Então
torna-se um polinômio de grau
em potências ímpares de
.
Passo 6
O polinômio de Chebyshev de 1ª tipo
é a solução polinomial para
normalizada de modo que o coeficiente de
seja
se
e seja
se
. Assim
Resposta
a)
com
b) Para
a solução par
termina e é polinômio de grau
em
.
c) Para a solução ímpar
termina e é polinômio de grau
em
.
d)
c) Para
d)