Questão 6. A equação
\left(1-x^{2}\right)^{\prime \prime}-x y^{\prime}+\alpha^{2} y=0
é conhecida como equação de Chebyshev de primeiro tipo.
a. Mostre que a solução geral da equação de Chebyshev é y(x)=a_{0} y_{1}(x)+a_{1} y_{2}(x) em que
\begin{gathered} y_{1}(x)=1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\left((2 k-2)^{2}-\alpha^{2}\right) \ldots\left(-\alpha^{2}\right)}{(2 k)!} x^{2 k} \\\ y_{2}(x)=x+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\left((2 k-1)^{2}--\alpha^{2}\right) \ldots\left(1-\alpha^{2}\right)}{(2 k+1)!} x^{2 k+1} \end{gathered}
b. Mostre que se \alpha=2 n for um inteiro par não negativo então uma das soluções em série termina e torna-se um polinômio de grau 2 n contendo apenas potências pares de x.
c. Mostre que se \alpha=2 n+1 for um inteiro ímpar não negativo então uma das soluções em série termina e torna-se um polinômio de grau 2 n+1=\alpha contendo apenas potências ímpares de x.
d. O polinômio de Chebyshev de primeiro tipo T_{n}(x) é definido como a solução polinomial da equação de Chebyshev de primeiro tipo, para \alpha=n, tal que o coeficiente de x_{n} é igual a 1 , se n=0 e igual a 2 n-1, se n>0. Determine os polinômios de Chebyshev de primeiro tipo para n=0,1,2,3,4.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Chebyshev de 1º tipo
\bigl(1 - x^2\bigr)\,y'' \;-\; x\,y' \;+\;\alpha^2\,y \;=\;0
e pede:
a) mostrar que a solução geral pode ser escrita como
y(x)=a_{0}\,y_{1}(x)+a_{1}\,y_{2}(x)
com
y_{1}(x)=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl((2k-2)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(-\alpha^{2}\bigr)}{(2k)!}\,x^{2k}, \quad y_{2}(x)=x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl((2k-1)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(1-\alpha^{2}\bigr)}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.
b) provar que, para \alpha=2n, a solução par torna-se um polinômio de grau 2n em potências pares;
c) provar que, para \alpha=2n+1, a solução ímpar torna-se um polinômio de grau 2n+1 em potências ímpares;
d) normalizar estes polinômios para \alpha=n com coeficiente líder igual a 1 se n=0 e igual a 2^{\,n-1} se n>0, e obter T_{n}(x) para n=0,1,2,3,4.
Para resolver vamos usar o método de série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Suponha
y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}c_{m}\,x^{m}.
Então
y'=\sum_{m=1}^{\infty}m\,c_{m}\,x^{m-1}, \qquad y''=\sum_{m=2}^{\infty}m(m-1)\,c_{m}\,x^{m-2}.
Substituindo em \bigl(1-x^2\bigr)y'' - x\,y' + \alpha^2y=0 e coletando o coeficiente de x^n obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1)\,c_{n+2}\;+\;\bigl[\alpha^2 - n^2\bigr]\,c_{n}\;=\;0,
isto é
\boxed{c_{n+2} \;=\;\frac{n^2 - \alpha^2}{(n+2)(n+1)}\,c_{n}.}

Passo 3

Dessa recorrência deduzimos duas famílias de coeficientes:
  • Para a solução par tomamos c_{1}=0 e c_{0} livre. Assim c_{2k+1}=0 e
c_{2k} =\frac{\bigl((2k-2)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(-\alpha^{2}\bigr)}{(2k)(2k-1)\cdots2\cdot1}\;c_{0} =\frac{\bigl((2k-2)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(-\alpha^{2}\bigr)}{(2k)!}\,c_{0}.
Normalizando c_{0}=1 obtemos
y_{1}(x) =1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl((2k-2)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(-\alpha^{2}\bigr)}{(2k)!}\,x^{2k}.
  • Para a solução ímpar tomamos c_{0}=0 e c_{1} livre. Assim c_{2k}=0 e
c_{2k+1} =\frac{\bigl((2k-1)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(1-\alpha^{2}\bigr)}{(2k+1)!}\,c_{1}.
Normalizando c_{1}=1 obtemos
y_{2}(x) =x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl((2k-1)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(1-\alpha^{2}\bigr)}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.
Logo a solução geral é
\boxed{y(x)=a_{0}\,y_{1}(x)+a_{1}\,y_{2}(x).}

Passo 4

Se \alpha=2n ( n inteiro não negativo), ao calcular c_{2k} vemos que o numerador
(2k-2)^{2}-\alpha^{2} anula-se para 2k-2=\pm2n, isto é k=n. Portanto
c_{2n+2}=0 \quad\text{e todos os }c_{2k}=0\text{ para }k>n.
Assim y_{1}(x) torna-se um polinômio de grau 2n em potências pares de x.

Passo 5

Se \alpha=2n+1 ( n inteiro não negativo), ao calcular c_{2k+1} o numerador
(2k-1)^{2}-\alpha^{2} anula-se para 2k-1=\pm(2n+1), ou seja k=n+1. Logo
c_{2(n+1)+1}=c_{2n+3}=0 \quad\text{e todos os }c_{2k+1}=0\text{ para }k>n.
Então y_{2}(x) torna-se um polinômio de grau 2n+1 em potências ímpares de x.

Passo 6

O polinômio de Chebyshev de 1ª tipo T_{n}(x) é a solução polinomial para \alpha=n normalizada de modo que o coeficiente de x^{n} seja 1 se n=0 e seja 2^{\,n-1} se n>0. Assim
\begin{aligned} T_{0}(x)&=1,\\\ T_{1}(x)&=x,\\\ T_{2}(x)&=2x^{2}-1,\\\ T_{3}(x)&=4x^{3}-3x,\\\ T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1. \end{aligned}

Resposta

a) \displaystyle y(x)=a_{0}\,y_{1}(x)+a_{1}\,y_{2}(x) com
y_{1}(x)=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl((2k-2)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(-\alpha^{2}\bigr)}{(2k)!}\,x^{2k}, \quad y_{2}(x)=x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl((2k-1)^{2}-\alpha^{2}\bigr)\cdots\bigl(1-\alpha^{2}\bigr)}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.
b) Para \alpha=2n a solução par y_{1} termina e é polinômio de grau 2n em x^{2k}.
c) Para \alpha=2n+1 a solução ímpar y_{2} termina e é polinômio de grau 2n+1 em x^{2k+1}.
d)
T_{0}(x)=1,\quad T_{1}(x)=x,\quad T_{2}(x)=2x^{2}-1,\quad T_{3}(x)=4x^{3}-3x,\quad T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1.

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