Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equaçōes dados.
& 6 x^prime=(rr -4 & 2 2 & -1 ) x+binomt^-12 t^-1+4, t>0

Passo 1

Temos o sistema não homogêneo de EDOs no plano dado por x'=Ax+f(t), onde
A=-4 & 22 & -1,f(t)=t^-12t^-1+4, t>0
O conteúdo é diagonalização de matriz constante e variação de parâmetros para sistemas lineares. Começaremos encontrando os autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=det-4-lambda & 22 & -1-lambda=(-4-lambda)(-1-lambda)-4=lambda^2+5lambda+0
As raízes são lambda1=0 e lambda2=-5.

Passo 3

Para lambda1=0, resolvemos (A-0I)v=0:
-4v1+2v2=0 Rightarrow v2=2v1
Escolhendo v^(1)=(1,2)^T.

Passo 4

Para lambda2=-5, resolvemos (A+5I)v=0:
v1+2v2=0 Rightarrow v1=-2v2,
logo podemos tomar v^(2)=(-2,1)^T.

Passo 5

Assim a matriz de passagem e sua inversa são
T=1 & -22 & 1, T^-1=151 & 2-2 & 1

Passo 6

Fazendo a mudança de variáveis x=Tz, obtemos

Passo 7

Calculemos T^-1f(t):
T^-1f(t)=151 & 2-2 & 1t^-12t^-1+4 =t^-1+tfrac85tfrac45

Passo 8

Portanto o sistema em z=(z1,z2)^T fica
z1'=t^-1+tfrac85,z2'+5z2=tfrac45

Passo 9

Agora integramos:
Para z1:
z1(t)=integrall(t^-1+tfrac85r)dt+C1=ln t+tfrac85t+C1

Passo 10

Para z2 usamos fator integrante e^5t:
ddt(z2e^5t)=tfrac45e^5t Rightarrow z2e^5t=tfrac425e^5t+C2,
logo
z2(t)=tfrac425+C2e^-5t

Passo 11

Por fim, voltamos a x=Tz:
x1=z1-2z2, x2=2z1+z2
Substituindo z1 e z2 obtemos a solução geral.

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}(t)=C_1 12+C_2e^{-5t} -21+ ln t+tfrac85t-tfrac8252ln t+tfrac165t+tfrac425,\quad t>0.

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