Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equaçōes dados.
Passo 1
Temos o sistema não homogêneo de EDOs no plano dado por
, onde
O conteúdo é diagonalização de matriz constante e variação de parâmetros para sistemas lineares. Começaremos encontrando os autovalores e autovetores de
.
Passo 2
Calculemos o polinômio característico:
As raízes são
Passo 3
Para
, resolvemos
:
Escolhendo
Passo 4
Para
, resolvemos
:
logo podemos tomar
Passo 5
Assim a matriz de passagem e sua inversa são
Passo 6
Fazendo a mudança de variáveis
, obtemos
Passo 7
Calculemos
:
Passo 8
Portanto o sistema em
fica
Passo 9
Agora integramos:
Para :
Para
Passo 10
Para
usamos fator integrante
:
logo
Passo 11
Por fim, voltamos a
:
Substituindo
Resposta
\displaystyle \mathbf{x}(t)=C_1
+C_2e^{-5t}
+
,\quad t>0.