Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(10-nn)^n

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a convergência da série sumn=1^inftyl(tfrac10-nnr)^n. O conteúdo envolve séries numéricas e, mais especificamente, o teste do termo geral e uso de limites exponenciais para saber se a série converge ou não.

Passo 2

Definimos o termo geral an como
an = l(10 - nnr)^n = l(10n - 1r)^n Notamos que 10n - 1 = -l(1 - tfrac10nr), então
an = (-1)^n l(1 - tfrac10nr)^n Isso separa o sinal alternante de parte positiva.

Passo 3

Para ver se an tende a zero, analisamos o limite da parte positiva:
limntoinfty l(1 - tfrac10nr)^n = e^-10 Logo
limntoinfty an = limntoinfty (-1)^n l(1 - tfrac10nr)^n = (-1)^n e^-10,
e em particular
limntoinfty |an| = e^-10 neq 0

Passo 4

Como o termo geral an não tende a zero, o teste do termo geral garante que a série diverge — mesmo que seja alternante para grandes n, o fato de o módulo do termo não ir a zero basta para concluir divergência.

Resposta

A série diverge.

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