Resolva o problema de valor inicial,
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e, assim, encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Perceba que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação fica então:
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Resolvendo a integral no lado direito, fazemos uma substituição simples:
Seja , então
ou
. Assim:
Seja
Passo 8
Voltando à equação:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
. Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Finalmente, substituímos
na expressão geral de
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: