Resolva o problema de valor inicial,
y^prime-cos (x) y=x e^x^2+sen(x), onde y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial:
y^prime - cos(x) y = x e^x^2 + sin(x), onde y(0) = 2
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e, assim, encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
y^prime - cos(x) y = x e^x^2 + sin(x)
Perceba que:
P(x) = -cos(x) e Q(x) = x e^x^2 + sin(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo mu(x) = e^integral -cos(x) , dx = e^-sin(x) :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^-sin(x) y^prime - e^-sin(x) cos(x) y = x e^x^2 + sin(x) e^-sin(x) :
x e^x^2 + sin(x) e^-sin(x) = x e^x^2
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A equação fica então:
e^-sin(x) y^prime - e^-sin(x) cos(x) y = x e^x^2
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto ddx ( e^-sin(x) y ) = x e^x^2 :

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a integral ddx ( e^-sin(x) y ) , dx = integral x e^x^2 , dx :
e^-sin(x) y = integral x e^x^2 , dx + C
A integral do lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Resolvendo a integral no lado direito, fazemos uma substituição simples:
Seja integral x e^x^2 , dx = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C , então ou . Assim:

Passo 8

Voltando à equação:
e^-sin(x) y = 12 e^x^2 + C
Agora, isolamos y = e^sin(x) ( 12 e^x^2 + C ) :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial 2 = e^sin(0) ( 12 e^0 + C ) Rightarrow 2 = e^0 ( 12 + C ) Rightarrow 2 = 12 + C para encontrar o valor da constante C = 2 - 12 = 32 . Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 10

Finalmente, substituímos y = e^sin(x) ( 12 e^x^2 + 32 ) = 12 e^x^2 + sin(x) + 32 e^sin(x) na expressão geral de :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = 12 e^x^2 + sin(x) + 32 e^sin(x)

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