Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem quatro, que vamos assumir como
. O conteúdo envolve: resolução da parte homogênea (equação característica) e busca de uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Escrevemos a equação característica da homogênea associada a
. Substituindo
obtemos
Passo 3
As raízes são
com multiplicidade 3 e
simples. Logo a solução homogênea é
$$y_h(t) = C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 e^{-t}.
$$
Passo 4
Para encontrar uma solução particular de
, notamos que o termo
é um polinômio de grau 1 e que
tem multiplicidade 3. Pelo método dos coeficientes indeterminados, multiplicamos a forma usual
por
, propondo
$$y_p(t) = A t^4 + B t^3.
$$
Passo 5
Calculamos as derivadas necessárias:
$$y_p^{(4)} = 24A.
$$
Passo 6
Substituindo em
temos:
$$24A + (24A t + 6B) = t \quad\Longrightarrow\quad 24A t + (24A + 6B) = t.
$$
Passo 7
Igualando coeficientes de potências de
:
$$24A + 6B = 0 \implies 1 + 6B = 0 \implies B = -\tfrac16.
$$
Passo 8
Logo
$$y_p(t) = \frac1{24}t^4 - \frac16 t^3.
$$
Passo 9
A solução geral é a soma da homogênea com a particular.