Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
y^(*)+y^prime prime prime=t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem quatro, que vamos assumir como y^(4) + y^primeprimeprime = t. O conteúdo envolve: resolução da parte homogênea (equação característica) e busca de uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da homogênea associada a y^(4) + y^primeprimeprime = 0. Substituindo y = e^rt obtemos
r^4 + r^3 = 0 Longrightarrow r^3(r + 1) = 0

Passo 3

As raízes são r = 0 com multiplicidade 3 e r = -1 simples. Logo a solução homogênea é
$$y_h(t) = C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 e^{-t}.
$$

Passo 4

Para encontrar uma solução particular de y^(4) + y^primeprimeprime = t, notamos que o termo t é um polinômio de grau 1 e que r=0 tem multiplicidade 3. Pelo método dos coeficientes indeterminados, multiplicamos a forma usual At+B por t^3, propondo
$$y_p(t) = A t^4 + B t^3.
$$

Passo 5

Calculamos as derivadas necessárias:
yp' = 4A t^3 + 3B t^2,
yp'' = 12A t^2 + 6B t,
yp''' = 24A t + 6B,
$$y_p^{(4)} = 24A.
$$

Passo 6

Substituindo em y^(4) + y^primeprimeprime = t temos:
$$24A + (24A t + 6B) = t \quad\Longrightarrow\quad 24A t + (24A + 6B) = t.
$$

Passo 7

Igualando coeficientes de potências de t:
24A = 1 implies A = 124,
$$24A + 6B = 0 \implies 1 + 6B = 0 \implies B = -\tfrac16.
$$

Passo 8

Logo
$$y_p(t) = \frac1{24}t^4 - \frac16 t^3.
$$

Passo 9

A solução geral é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(t) = C1 + C2 t + C3 t^2 + C4 e^-t + 124t^4 - 16 t^3

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