Nos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução do problema de valor inicial da equação diferencial
com condições iniciais
e depois fazer um gráfico da solução. As informações relevantes são:
Nada mais é fornecido; precisamos achar a solução única que satisfaça essas condições.
Passo 2
Observação sobre a equação e estratégia: o operador linear na esquerda pode ser fatorado em termos do operador derivada
. Temos
Essa fatoração sugere reduzir a ordem integrando uma vez: se definirmos
então a equação original fica
Assim podemos integrar uma vez para obter uma equação de segunda ordem para
. Essa é uma escolha prática porque transforma a ODE de terceira ordem em uma de segunda ordem mais manejável.
Passo 3
Integração da primeira redução: como
, uma primitiva de
é conhecida:
(Verificação rápida: derivando
obtemos
.)
Logo
Logo
onde
é uma constante de integração. Recordando
, obtemos a ODE de segunda ordem
Passo 4
Resolver a ODE de segunda ordem: escrevemos
onde definimos
. A solução geral é soma da solução homogênea e de uma particular. A homogênea de
tem soluções fundamentais
e
, então
com constantes
. Precisamos agora de uma solução particular
para o lado direito
. Notamos que uma particular para a parte constante
é simplesmente
(pois
). Resta achar um particular para
.
Passo 5
Encontrar um particular para
por variação de parâmetros (segunda ordem). Com as soluções básicas
e
e seu Wronskiano
, as fórmulas dão (esquematicamente)
Agora precisamos calcular as integrais
e
. Lembremos que
.
Passo 6
Calcular as integrais usando integração por partes, aproveitando
.
Para
, faça
,
. Então
e
. Assim
Como
, temos
. Portanto
Para
, faça
,
. Então
e
. Assim
Como
, temos
. E
Logo
Passo 7
Substituindo nas fórmulas de variação de parâmetros (desconsiderando constantes de integração que se incorporam à solução homogênea) obtemos um particular conveniente:
Desenvolvendo e simplificando
, encontramos
Portanto uma solução particular para
é
Passo 8
Solução geral da segunda ordem (e, portanto, da original após integrar) reúne as partes:
Isto tem exatamente três constantes
, como esperado para uma ODE de terceira ordem original. Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
.
Passo 9
Calcular
a partir da expressão geral e igualar aos valores dados. Primeiro note valores de funções em
:
Avaliação direta:
Agora calcule
. Diferenciando a expressão geral (mostrando passos importantes):
Mas como
, note a simplificação
logo os termos
e
se combinam para dar
, que cancela com o
. Assim sobra a expressão simples
Avaliação em
dá
logo
.
Agora
(derivando a forma simplificada de
):
Os termos
e
cancelam, restando
Avaliação em
dá
portanto
.
Com
e a condição
obtemos
.
Passo 10
Conclusão: substituindo
,
,
na expressão geral encontramos a solução única que satisfaz as condições iniciais:
Observações sobre domínio e gráfico: a solução usa
e
, logo apresenta singularidades quando
(isto é, em
). Portanto a solução é válida em intervalos onde
, por exemplo no intervalo principal
que contém
. Para desenhar o gráfico em torno de
, note:
-
, (sobe inicialmente), (concavidade para baixo no início). - O termo
introduz um crescimento com amplitude proporcional a modulada por , fazendo a solução oscilar com amplitude que cresce em magnitude com . - Há assíntotas verticais em
por causa do e .
Um esboço: no intervaloa curva passa por , sobe com inclinação e inicia curvando-se para baixo; exibe oscilações (decorrentes dos termos em ) e tende a conforme se aproxima de .