Nos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
\begin{array}{lll} y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{sec} t, & y(0)=2, & y^{\prime}(0)=1 \\\ & y^{\prime \prime}(0)=-2 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução do problema de valor inicial da equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=\operatorname{sec} t
com condições iniciais
y(0)=2,\qquad y^{\prime}(0)=1,\qquad y^{\prime\prime}(0)=-2,
e depois fazer um gráfico da solução. As informações relevantes são:
\text{EQUAÇÃO: }y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=\operatorname{sec} t,ÇÃ
\text{CONDICÕES: }y(0)=2,\; y^{\prime}(0)=1,\; y^{\prime\prime}(0)=-2.Õ
Nada mais é fornecido; precisamos achar a solução única que satisfaça essas condições.

Passo 2

Observação sobre a equação e estratégia: o operador linear na esquerda pode ser fatorado em termos do operador derivada D=\dfrac{d}{dt}. Temos
D^{3}+D = D\,(D^{2}+1).
Essa fatoração sugere reduzir a ordem integrando uma vez: se definirmos
u(t)=(D^{2}+1)y(t)=y^{\prime\prime}(t)+y(t),
então a equação original fica
D u(t)=\operatorname{sec} t\quad\Longrightarrow\quad u'(t)=\operatorname{sec} t.
Assim podemos integrar uma vez para obter uma equação de segunda ordem para y. Essa é uma escolha prática porque transforma a ODE de terceira ordem em uma de segunda ordem mais manejável.

Passo 3

Integração da primeira redução: como u'(t)=\operatorname{sec} t, uma primitiva de \operatorname{sec} t é conhecida:
\frac{d}{dt}\bigl(\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|\bigr)=\operatorname{sec} t.
(Verificação rápida: derivando \ln(\operatorname{sec} t+\tan t) obtemos \dfrac{\operatorname{sec} t\tan t+\operatorname{sec}^2 t}{\operatorname{sec} t+\tan t}=\operatorname{sec} t.)
Logo
u(t)=\ln|\operatorname{sec} t+\tan t| + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Recordando u(t)=y^{\prime\prime}(t)+y(t), obtemos a ODE de segunda ordem
y^{\prime\prime}+y=\ln|\operatorname{sec} t+\tan t| + C_1.

Passo 4

Resolver a ODE de segunda ordem: escrevemos
y^{\prime\prime}+y = H(t) + C_1,
onde definimos H(t)=\ln|\operatorname{sec} t+\tan t|. A solução geral é soma da solução homogênea e de uma particular. A homogênea de
y^{\prime\prime}+y=0
tem soluções fundamentais \cos t e \sin t, então
y_h(t)=A\cos t + B\sin t,
com constantes A,B. Precisamos agora de uma solução particular y_p para o lado direito H(t)+C_1. Notamos que uma particular para a parte constante C_1 é simplesmente y_{p,C}=C_1 (pois (C_1)''+C_1 = 0 + C_1). Resta achar um particular para H(t).

Passo 5

Encontrar um particular para H(t) por variação de parâmetros (segunda ordem). Com as soluções básicas y_1=\cos t e y_2=\sin t e seu Wronskiano W=\cos^2 t+\sin^2 t=1, as fórmulas dão (esquematicamente)
y_{p,H}(t) = -\cos t\int \sin t\, H(t)\,dt + \sin t\int \cos t\, H(t)\,dt.
Agora precisamos calcular as integrais \int \sin t\, H(t)\,dt e \int \cos t\, H(t)\,dt. Lembremos que H'(t)=\operatorname{sec} t.

Passo 6

Calcular as integrais usando integração por partes, aproveitando H'(t)=\operatorname{sec} t.
Para \displaystyle \int \sin t\, H(t)\,dt, faça u=H(t), dv=\sin t\,dt. Então du=H'(t)\,dt=\operatorname{sec} t\,dt e v=-\cos t. Assim
\int \sin t\, H(t)\,dt = -H(t)\cos t + \int \cos t\,H'(t)\,dt.
Como H'(t)=\operatorname{sec} t, temos \cos t\,H'(t)=\cos t\operatorname{sec} t=1. Portanto
\int \sin t\, H(t)\,dt = -H(t)\cos t + \int 1\,dt = -H(t)\cos t + t + C.
Para \displaystyle \int \cos t\, H(t)\,dt, faça u=H(t), dv=\cos t\,dt. Então v=\sin t e du=\operatorname{sec} t\,dt. Assim
\int \cos t\, H(t)\,dt = H(t)\sin t - \int \sin t\,H'(t)\,dt.
Como H'(t)=\operatorname{sec} t, temos \sin t\,H'(t)=\sin t\operatorname{sec} t=\tan t. E \int \tan t\,dt=-\ln|\cos t|. Logo
\int \cos t\, H(t)\,dt = H(t)\sin t + \ln|\cos t| + C.

Passo 7

Substituindo nas fórmulas de variação de parâmetros (desconsiderando constantes de integração que se incorporam à solução homogênea) obtemos um particular conveniente:
y_{p,H}(t)= -\cos t\bigl(-H(t)\cos t + t\bigr) + \sin t\bigl(H(t)\sin t + \ln|\cos t|\bigr).
Desenvolvendo e simplificando H(t)\cos^2 t + H(t)\sin^2 t = H(t), encontramos
y_{p,H}(t)=H(t) - t\cos t + \sin t\ln|\cos t|.
Portanto uma solução particular para H(t)+C_1 é
y_p(t)=C_1 + H(t) - t\cos t + \sin t\ln|\cos t|.

Passo 8

Solução geral da segunda ordem (e, portanto, da original após integrar) reúne as partes:
y(t)=A\cos t + B\sin t + C_1 + H(t) - t\cos t + \sin t\ln|\cos t|.
Isto tem exatamente três constantes A,B,C_1, como esperado para uma ODE de terceira ordem original. Agora aplicamos as condições iniciais para determinar A,B,C_1.

Passo 9

Calcular y(0),\,y'(0),\,y''(0) a partir da expressão geral e igualar aos valores dados. Primeiro note valores de funções em t=0:
\cos 0=1,\quad \sin 0=0,\quad H(0)=\ln|\operatorname{sec} 0+\tan 0|=\ln 1=0,\quad \ln|\cos 0|=0.
Avaliação direta:
y(0)=A + C_1 \quad\stackrel{!}{=}2.
Agora calcule y'(t). Diferenciando a expressão geral (mostrando passos importantes):
y'(t)=-A\sin t + B\cos t + H'(t) -\cos t + t\sin t + \bigl(\cos t\ln|\cos t| - \tfrac{\sin^2 t}{\cos t}\bigr).
Mas como H'(t)=\operatorname{sec} t, note a simplificação
\operatorname{sec} t - \frac{\sin^2 t}{\cos t}=\frac{1}{\cos t}-\frac{\sin^2 t}{\cos t}=\frac{1-\sin^2 t}{\cos t}=\cos t,
logo os termos \operatorname{sec} t e -\dfrac{\sin^2 t}{\cos t} se combinam para dar \cos t, que cancela com o -\cos t. Assim sobra a expressão simples
y'(t)=-A\sin t + B\cos t + t\sin t + \cos t\ln|\cos t|.
Avaliação em t=0
y'(0)=B \quad\stackrel{!}{=}1,
logo B=1.
Agora y''(t) (derivando a forma simplificada de y'):
y''(t)=-A\cos t - B\sin t + \sin t + t\cos t - \sin t\ln|\cos t| - \sin t.
Os termos \sin t e -\sin t cancelam, restando
y''(t)=-A\cos t - B\sin t + t\cos t - \sin t\ln|\cos t|.
Avaliação em t=0
y''(0)=-A \quad\stackrel{!}{=}-2,
portanto A=2.
Com A=2 e a condição y(0)=A+C_1=2 obtemos C_1=0.

Passo 10

Conclusão: substituindo A=2, B=1, C_1=0 na expressão geral encontramos a solução única que satisfaz as condições iniciais:
y(t)=2\cos t + \sin t + \ln|\operatorname{sec} t+\tan t| - t\cos t + \sin t\ln|\cos t|.
Observações sobre domínio e gráfico: a solução usa \operatorname{sec} t e \ln|\cos t|, logo apresenta singularidades quando \cos t=0 (isto é, em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi). Portanto a solução é válida em intervalos onde \cos t\neq 0, por exemplo no intervalo principal (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) que contém t=0. Para desenhar o gráfico em torno de t=0, note:
  • y(0)=2, y'(0)=1 (sobe inicialmente), y''(0)=-2 (concavidade para baixo no início).
  • O termo -t\cos t introduz um crescimento com amplitude proporcional a t modulada por \cos t, fazendo a solução oscilar com amplitude que cresce em magnitude com |t|.
  • Há assíntotas verticais em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi por causa do \ln|\cos t| e \ln|\operatorname{sec} t+\tan t|.
    Um esboço: no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) a curva passa por (0,2), sobe com inclinação 1 e inicia curvando-se para baixo; exibe oscilações (decorrentes dos termos em \cos t,\sin t) e tende a \pm\infty conforme t se aproxima de \pm\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

y(t)=2\cos t + \sin t + \ln|\operatorname{sec} t+\tan t| - t\cos t + \sin t\ln|\cos t|.

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