Nos problemas 7-12, resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem (y^2+2xy),dx - x^2,dy = 0. Esse tipo de equação pode ser vista como M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, com ambas as funções homogêneas de grau 2. Vamos usar a substituição típica para homogêneas, isto é, definir y = vx.

Passo 2

Reescrevendo a equação em termos de dy/dx:
(y^2+2xy) - x^2dydx=0
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dydx = y^2+2xyx^2 = l(yxr)^2 + 2l(yxr)
Definimos v = y/x para reconhecer a equação homogênea.

Passo 3

Substituindo y = vx e dy/dx = v + x,dv/dx na expressão de dy/dx, obtemos:
v + xdvdx = v^2 + 2v
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xdvdx = v^2 + v = v(v+1)

Passo 4

Agora separamos as variáveis:
dvv(v+1) = dxx
Para integrar a parte em v, usamos frações parciais:
1v(v+1) = 1v - 1v+1
Integrando ambos os lados:
integrall(1v - 1v+1r),dv = integraldxx
resulta em
ln|v| - ln|v+1| = ln|x| + C

Passo 5

Voltando à variável original, lembre que v = y/x. Então
lnl|vv+1r| = ln|x| + C Longrightarrow vv+1 = Cx
Substituindo v = y/x na fração:
y/xy/x + 1 = yy + x = Cx
Isolando y em função de x e da constante, obtemos a solução geral.

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