Calcule as derivadas das funções.
f(x)=raiz[3]x^2+2 raizx^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}+2 \sqrt{x^{3}},
que envolve radicais. O conteúdo principal aqui é a regra de potência para derivadas e vamos precisar reescrever as raízes como potências racionais.

Passo 2

Primeiro reescrevemos cada termo em potências:
raiz[3]x^2=x^tfrac23
2raizx^3=2,(x^3)^tfrac12=2,x^tfrac32

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência, que diz que
ddxl(x^nr)=n,x^n-1
Derivando termo a termo:
  • Para x^tfrac23:
ddxl(x^tfrac23r)=tfrac23,x^tfrac23-1=tfrac23,x^-tfrac13
  • Para 2,x^tfrac32:
ddxl(2,x^tfrac32r)=2cdotl(tfrac32,x^tfrac32-1r)=3,x^tfrac12

Passo 4

Por fim, somamos os resultados e, se quisermos, reescrevemos em radicais:
f'(x)=tfrac23,x^-tfrac13+3,x^tfrac12 =23raiz[3]x+3raizx

Resposta

f'(x)=tfrac23x^-tfrac13+3x^tfrac12

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