Nos problemas 7-12, resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem (2 x y^3 + 1),dx + (3 x^2 y^2 - y^-1),dy = 0. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas, então vamos precisar verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial psi(x,y) cuja diferencial total seja igual a M,dx + N,dy.

Passo 2

Definimos M(x,y) = 2 x y^3 + 1 e N(x,y) = 3 x^2 y^2 - y^-1. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 6 x y^2, partial Npartial x = 6 x y^2

Passo 3

Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos psi(x,y) tal que partial psi/partial x = M. Integrando em relação a x:
psi(x,y) = integral (2 x y^3 + 1),dx = x^2 y^3 + x + h(y),onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora impomos partial psi/partial y = N. Calculando a derivada de psi em relação a y:
partial psipartial y = 3 x^2 y^2 + h'(y) = 3 x^2 y^2 - y^-1

Passo 6

Daí obtemos h'(y) = -y^-1. Integrando em y:
h(y) = -ln|y| + C1Podemos incorporar a constante C1 na constante geral da solução. Assim, a função potencial é
psi(x,y) = x^2 y^3 + x - ln|y|

Passo 7

A solução implícita geral da equação diferencial é dada por
psi(x,y) = C,ou seja,
x^2 y^3 + x - ln|y| = C

Resposta

x^{2} y^{3} + x - \ln|y| = C

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