Nos Problemas 13 e 14, a familia a dois parâmetros é uma solução da equação diferencial indicada no intervalo (-infty, infty). Verifique se pode ser encontrado um membro da família que satisfaça as condições de contorno.
y=c1 e^x cos x+c2 e^x sen x ; y^prime prime-2 y^prime+2 y=0
y(0)=1, y(pi2)=1

Passo 1

O enunciado dá a família de soluções da equação diferencial
y'' - 2y' + 2y = 0
como
y(x)=c1e^xcos x + c2e^xsin x,
e pede para determinar c1 e c2 tais que
y(0)=1, yl(tfracpi2r)=1
Usaremos cada condição de contorno para obter um sistema de duas equações em c1,c2.

Passo 2

Aplicando y(0)=1, obtemos
y(0)=c1e^0cos0 + c2e^0sin0 = c1cdot1cdot1 + c2cdot1cdot0 = c1
Logo,
c1=1

Passo 3

Agora aplicamos yl(tfracpi2r)=1. Temos
yl(tfracpi2r) = c1e^pi/2cos!l(tfracpi2r) + c2e^pi/2sin!l(tfracpi2r) = 1cdot e^pi/2cdot0 + c2e^pi/2cdot1 = c2e^pi/2
Igualando a 1, segue
c2e^pi/2=1 Longrightarrow c2=e^-pi/2

Passo 4

Encontramos valores únicos para os parâmetros:
c1=1, c2=e^-pi/2
Portanto existe exatamente um membro da família que atende às duas condições de contorno.

Resposta

c1=1, c2=e^-pi/2

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