O que está errado aqui?
Multiplique ambos os lados da série harmônica alternada
por 2 para obter
Reúna os termos com o mesmo denominador, para chegar
A série do lado direito é aquela com a qual começamos. Portanto , dividindo por Sobtemos .
Passo 1
Estamos lidando com a série harmônica alternada
O enunciado multiplica essa série por 2 e, em seguida, agrupa termos com o mesmo denominador para “provar” que . Para entender o erro, vamos precisar da teoria de convergência de séries: absoluta x condicional e o teste de Leibniz.
Passo 2
Antes de tudo, vamos ver que a série alternada converge condicionalmente pelo teste de Leibniz: os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero, então
converge. Porém, se fizermos
a série harmônica diverge, logo não há convergência absoluta.
Passo 3
Uma consequência importante: em séries condicionalmente convergentes não é permitido reordenar nem reagrupar termos livremente. Só em séries absolutamente convergentes podemos trocar a ordem ou associar termos sem alterar a soma.
Passo 4
No “passo mágico” do enunciado, eles juntam - por exemplo - +2/3 com -1/3, depois +2/5 com -1/5 etc. Isso equivale a reordenar e associar os termos da série original. Mas, por ela ser apenas condicionalmente convergente, essa operação muda o valor da soma ou torna o processo inválido.
Passo 5
Portanto, a falácia está exatamente nesse agrupamento/reordenação de termos de uma série condicionalmente convergente. Esse erro leva à conclusão absurda 2=1, que não se sustenta.
Resposta
O erro está em reagrupar (reordenar/associar) termos de uma série que converge apenas condicionalmente, operação só válida para séries absolutamente convergentes.