O que está errado aqui?
Multiplique ambos os lados da série harmônica alternada
S=1-12+13-14+15-16+17-18+19-110+111-112+cdots
por 2 para obter
2 S=2-1+23-12+25-13+27-14+29-15+211-16 ldots
Reúna os termos com o mesmo denominador, para chegar
2 S=1-12+13-14+15-16+17-18+19-110 cdots
A série do lado direito é aquela com a qual começamos. Portanto 2 S=Se, dividindo por Sobtemos 2=1.

Passo 1

Estamos lidando com a série harmônica alternada
S = 1 - tfrac12 + tfrac13 - tfrac14 + tfrac15 - tfrac16 + cdots
O enunciado multiplica essa série por 2 e, em seguida, agrupa termos com o mesmo denominador para “provar” que 2=1. Para entender o erro, vamos precisar da teoria de convergência de séries: absoluta x condicional e o teste de Leibniz.

Passo 2

Antes de tudo, vamos ver que a série alternada converge condicionalmente pelo teste de Leibniz: os termos an = 1/n são positivos, decrescentes e tendem a zero, então
sumn=1^infty (-1)^n+11n
converge. Porém, se fizermos
sumn=1^infty l|(-1)^n+1tfrac1nr| = sumn=1^infty tfrac1n,
a série harmônica diverge, logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Uma consequência importante: em séries condicionalmente convergentes não é permitido reordenar nem reagrupar termos livremente. Só em séries absolutamente convergentes podemos trocar a ordem ou associar termos sem alterar a soma.

Passo 4

No “passo mágico” do enunciado, eles juntam - por exemplo - +2/3 com -1/3, depois +2/5 com -1/5 etc. Isso equivale a reordenar e associar os termos da série original. Mas, por ela ser apenas condicionalmente convergente, essa operação muda o valor da soma ou torna o processo inválido.

Passo 5

Portanto, a falácia está exatamente nesse agrupamento/reordenação de termos de uma série condicionalmente convergente. Esse erro leva à conclusão absurda 2=1, que não se sustenta.

Resposta

O erro está em reagrupar (reordenar/associar) termos de uma série que converge apenas condicionalmente, operação só válida para séries absolutamente convergentes.

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