Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A pergunta é para encontrar o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função, e para encontrá-lo, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Para uma função
, o gradiente é dado por:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada é mais direta:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma no ponto
.
Primeiro, calculamos
:
Então,
.
Agora, substituímos na derivada parcial em relação a
:
E na derivada parcial em relação a
:
Resposta
O gradiente da função no ponto
é: