Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(e) f(x, y) = raiz(tan(x) + y), (pi / 4, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A pergunta é para encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função, e para encontrá-lo, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Para uma função , o gradiente é dado por:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
A derivada é mais direta:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma no ponto .
Primeiro, calculamos :
Então, .
Agora, substituímos na derivada parcial em relação a :
E na derivada parcial em relação a :

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

Exercícios relacionados