Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação integral de Volterra de segunda espécie
e pede para encontrar
. O conteúdo envolve converter essa equação integrodiferencial em uma EDO de ordem superior, diferenciando adequadamente.
Passo 2
Defina
Então a equação é
. Diferenciando:
Agora derive três vezes
:
Substituindo
obtemos a EDO
Passo 3
Precisamos de três condições iniciais em
. Da equação original,
Da primeira derivada em
, como
, vem
Da segunda derivada em
, como
, vem
Passo 4
A EDO homogênea associada é de coeficientes constantes com termo forçante constante. Um particular é
pois
. A solução geral seria
mas impondo
,
,
todas as constantes da parte homogênea se anulam. Logo
satisfaz a EDO e as condições iniciais.