Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para y(t).
y(t)+integral0^t(t-v)^2 y(v) d v=t^3+3

Passo 1

O enunciado dá a equação integral de Volterra de segunda espécie
y(t)+integral0^t(t-v)^2,y(v),dv = t^3+3
e pede para encontrar y(t). O conteúdo envolve converter essa equação integrodiferencial em uma EDO de ordem superior, diferenciando adequadamente.

Passo 2

Defina
I(t)=integral0^t(t-v)^2y(v),dv
Então a equação é y(t)+I(t)=t^3+3. Diferenciando:
I'(t) =integral0^t2(t-v),y(v),dv =2integral0^t(t-v),y(v),dv,
I''(t) =2integral0^ty(v),dv, I'''(t)=2,y(t)
Agora derive três vezes y(t)+I(t)=t^3+3:
y'(t)+I'(t)=3t^2, y''(t)+I''(t)=6t, y'''(t)+I'''(t)=6
Substituindo I'''(t)=2y(t) obtemos a EDO
y'''(t)+2,y(t)=6

Passo 3

Precisamos de três condições iniciais em t=0. Da equação original,
y(0)=0^3+3=3
Da primeira derivada em t=0, como I'(0)=0, vem
y'(0)=0
Da segunda derivada em t=0, como I''(0)=0, vem
y''(0)=0

Passo 4

A EDO homogênea associada é de coeficientes constantes com termo forçante constante. Um particular é yp=3 pois 0+2cdot3=6. A solução geral seria
y(t)=3 + yh(t),
mas impondo y(0)=3, y'(0)=0, y''(0)=0 todas as constantes da parte homogênea se anulam. Logo
y(t)=3
satisfaz a EDO e as condições iniciais.

Resposta

y(t)=3

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