Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para y(t).
y^prime(t)-2 integral0^t e^t-v y(v) d v=t, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integro-diferencial
y'(t)-2integral0^te^,t-v,y(v),dv = t,
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo principal aqui é usar transformada de Laplace para lidar com a derivada e o termo de convolução integral0^te^,t-v,y(v),dv.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo. Se definirmos Y(s)=Ly(t)(s), então
1. Ly'(t)(s) = s,Y(s)-y(0)=s,Y(s)-2.
2. O integral integral0^te^,t-v,y(v),dv é a convolução de e^t com y(t), cuja transformada é Le^t(s),Ly(s)=tfrac1s-1,Y(s).
3. Lt(s)=1/s^2.

Passo 3

Substituindo na equação de Laplace,
l(s,Y(s)-2r);-;2;1s-1,Y(s);=;1s^2
Multiplicando tudo por s-1 para eliminar o denominador:
(s-1),(s,Y(s)-2);-;2,Y(s);=;s-1s^2
Expandindo e coletando Y(s):
l(s^2-s-2r),Y(s);-;(2s-2);=;s-1s^2
Como s^2-s-2=(s-2)(s+1), isolamos
Y(s);=;s-1s^2+2(s-1)(s-2)(s+1) ;=;(s-1)(2s^2+1)s^2,(s-2)(s+1)

Passo 4

Fazemos frações parciais assumindo
Y(s)=As+Bs^2+Cs-2+Ds+1
Multiplicando por s^2(s-2)(s+1) e igualando os polinômios, ou usando valores especiais:
  • Em s=0: -1=-2B; Rightarrow B=tfrac12.
  • Em s=2: 9=12cdot C; Rightarrow C=tfrac34.
  • Em s=-1: -6=-3cdot D; Rightarrow D=2.
  • Em s=1: 0=-2A-1,5; Rightarrow A=-tfrac34.

Passo 5

Agora tomamos a transformada inversa termo a termo:
y(t) =-tfrac34;L^-1tfrac1s +tfrac12;L^-1tfrac1s^2 +tfrac34;L^-1tfrac1s-2 +2;L^-1tfrac1s+1
Isto dá
y(t) =-tfrac34 +tfrac12,t +tfrac34,e^2t +2,e^-t
Verificamos que y(0)=-tfrac34+0+tfrac34+2=2, casando com a condição inicial.

Resposta

y(t)=-tfrac34+tfrac12,t+tfrac34,e^2t+2,e^-t

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