Nos problemas 15-22, resolva a equação integral dada ou a equação integro-diferencial para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação integro-diferencial
com condição inicial
. O conteúdo principal aqui é usar transformada de Laplace para lidar com a derivada e o termo de convolução
.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo. Se definirmos
, então
.
.
. O integral
é a convolução de
com
, cuja transformada é
.
.
.
Passo 3
Substituindo na equação de Laplace,
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Expandindo e coletando
:
Como
, isolamos
Passo 4
Fazemos frações parciais assumindo
Multiplicando por
e igualando os polinômios, ou usando valores especiais:
- Em
: ; . - Em
: ; . - Em
: ; . - Em
: ; .
Passo 5
Agora tomamos a transformada inversa termo a termo:
Isto dá
Verificamos que
, casando com a condição inicial.