Calcule a solução geral da equação diferencial
y^prime=y sen x-2 sen x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem y'=ysin x -2sin x. O conteúdo aqui é o método de equação linear: y'+p(x)y=q(x), e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevemos a EDO no formato padrão de linear:
y' - (sin x),y = -2sin x Aqui temos p(x)=-sin x e q(x)=-2sin x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx:
mu(x)=e^integral -sin x,dx=e^cos x

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x) e reconhecemos a derivada do produto:
ddxl(y,e^cos xr)= -2sin x,e^cos x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito usamos u=cos x, logo du=-sin x,dx:
integral dl(y,e^cos xr)=integral -2sin x,e^cos x,dx=2e^cos x+C Daí temos
y,e^cos x=2e^cos x+C

Passo 6

Por fim isolamos y dividindo por e^cos x:
y(x)=2+Ce^-cos x

Resposta

y(x)=2+Ce^-cos x

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