Usando as regras de derivação, encontre as derivadas parciais da seguinte função:
f(x, y, z)=x^2 cdot sin ^2(y z).

Passo 1

A função é f(x,y,z)=x{2}·sin{2}(y z). O conteúdo aqui é derivadas parciais, e vamos usar a regra do produto (quando aplicável), a regra da cadeia e a derivada de potência.

Passo 2

Para ∂f/∂x tratamos sin^{2}(y z) como constante e derivamos x^{2} pelo poder:
partial fpartial x=2xsin^2(y z)

Passo 3

Para ∂f/∂y escrevemos f=x{2}·u{2} com u=sin(y z). Aplicando cadeia:
  1. ∂f/∂u=2x^{2}u
  2. ∂u/∂y=cos(y z)·z
    Combinando:
partial fpartial y=2x^2sin(y z)cdot(cos(y z),z)=2x^2zsin(y z)cos(y z)

Passo 4

Para ∂f/∂z é análogo ao caso de y, trocando o papel de z por y em ∂u/∂z:
  1. ∂f/∂u=2x^{2}u
  2. ∂u/∂z=cos(y z)·y
    Logo:
partial fpartial z=2x^2sin(y z)cdot(cos(y z),y)=2x^2ysin(y z)cos(y z)

Resposta

partial fpartial x=2xsin^2(y z), partial fpartial y=2x^2zsin(y z)cos(y z), partial fpartial z=2x^2ysin(y z)cos(y z)

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