Intersection and Collision If two objects travel through space along two different curves, it’s often important to know whether they will collide. (Will a missile hit its moving target? Will two aircraft collide?) Their paths might intersect, but we need to know whether the objects are in the same position at the same time. (See Exercises 10.1.55-57.)
Do the particles collide? Do their paths intersect?
The trajectories of two particles are given by the vector functions
for . Do the particles collide?
Passo 1
O enunciado dá duas trajetórias de partículas em função do mesmo parâmetro temporal :
Queremos saber (a) se as partículas ocupam a mesma posição no mesmo instante (colidem) e (b) se as curvas se intersectam (existem instantes, talvez distintos, que as fazem coincidir).
Passo 2
Para verificar colisão, impomos que em algum
Isso gera o sistema de três equações escalares:
Passo 3
Resolvendo a primeira equação
t^2-4t+3=0 Longrightarrow (t-1)(t-3)=0 Longrightarrow t=1 ou t=3
Passo 4
Resolvendo a segunda equação
t^2-7t+12=0 Longrightarrow (t-3)(t-4)=0 Longrightarrow t=3 ou t=4
Passo 5
Resolvendo a terceira equação
t^2-5t+6=0 Longrightarrow (t-2)(t-3)=0 Longrightarrow t=2 ou t=3
Passo 6
O único valor comum às três soluções é t=3, que está no domínio t>=0. Logo em t=3 temos
r1(3)=lang<= 9,,7cdot3-12=9,,9rang<= e r2(3)=lang<= 4cdot3-3=9,,9,,5cdot3-6=9rang<=
Ambas coincidem em (9,9,9) no mesmo instante t=3.
Passo 7
Como existe t=3 tal que r1(3)=r2(3), as partículas colidem nesse instante. Consequentemente, as trajetórias também se intersectam, e o ponto de interseção é (9,9,9).
Resposta
As partículas colidem no instante t=3, na posição (9,9,9).