Nos problemas 9-16, decida se o método dos coeficientes indeterminados junto com a superposição podem ser aplicados para encontrar uma solução particular da equação dada. Não resolva a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação não homogênea de coeficientes constantes
e pede para decidir se o método dos coeficientes indeterminados, junto com superposição, é aplicável para obter uma solução particular. Vamos usar as condições de aplicabilidade: o termo fonte deve ser combinação de polinômios em
, exponenciais, senos e cossenos (ou seus produtos) e não pode haver ressonância com as raízes da equação característica homogênea.
Passo 2
A equação característica homogênea é
O discriminante é
, de modo que as raízes são
Nenhuma dessas raízes é
nem
, de forma que não há ressonância imediata com polinômios (raiz
) nem com exponenciais senoidais de frequência unitária (raiz
).
Passo 3
O termo
é um polinômio de grau 2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, faríamos uma hipótese de polinômio genérico de grau 2 para a parte particular e não precisaríamos multiplicar por
adicional, pois
não é raiz da característica. Logo, essa parte é admissível.
Passo 4
O termo
é da forma polinômio em
vezes
com
e
. As raízes associadas seriam
, mas como a equação característica não as possui, também não há ressonância e o método requer apenas hipótese do tipo
sem fatores extras de
.
Passo 5
Tanto o polinômio quanto o termo
pertencem às famílias tratáveis pelo método dos coeficientes indeterminados, e não há ressonância com as raízes da parte homogênea. Além disso, a superposição permite tratar cada termo separadamente e somar as soluções parciais.
Resposta
Sim, o método dos coeficientes indeterminados, juntamente com a superposição, pode ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.