Nos problemas 9-16, decida se o método dos coeficientes indeterminados junto com a superposição podem ser aplicados para encontrar uma solução particular da equação dada. Não resolva a equação.
3 y^prime prime+2 y^prime+8 y=t^2+4 t-t^2 e^t sen t

Passo 1

O enunciado dá a equação não homogênea de coeficientes constantes
3y'' + 2y' + 8y = t^2 + 4t - t^2 e^t sen t
e pede para decidir se o método dos coeficientes indeterminados, junto com superposição, é aplicável para obter uma solução particular. Vamos usar as condições de aplicabilidade: o termo fonte deve ser combinação de polinômios em t, exponenciais, senos e cossenos (ou seus produtos) e não pode haver ressonância com as raízes da equação característica homogênea.

Passo 2

A equação característica homogênea é
3r^2 + 2r + 8 = 0
O discriminante é De<a = 2^2 -4cdot3cdot8 = -92, de modo que as raízes são
r = -2 pm iraiz926 = -tfrac13 pm i,raiz926
Nenhuma dessas raízes é 0 nem 1pm i, de forma que não há ressonância imediata com polinômios (raiz r=0) nem com exponenciais senoidais de frequência unitária (raiz r=1pm i).

Passo 3

O termo t^2 + 4t é um polinômio de grau 2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, faríamos uma hipótese de polinômio genérico de grau 2 para a parte particular e não precisaríamos multiplicar por t adicional, pois r=0 não é raiz da característica. Logo, essa parte é admissível.

Passo 4

O termo -t^2 e^tsen t é da forma polinômio em t vezes e^alpha tsin(beta t) com alpha=1 e beta=1. As raízes associadas seriam r=1pm i, mas como a equação característica não as possui, também não há ressonância e o método requer apenas hipótese do tipo
yp(t) = t^2 e^t(Acos t + Bsin t)
sem fatores extras de t.

Passo 5

Tanto o polinômio quanto o termo t^2 e^tsen t pertencem às famílias tratáveis pelo método dos coeficientes indeterminados, e não há ressonância com as raízes da parte homogênea. Além disso, a superposição permite tratar cada termo separadamente e somar as soluções parciais.

Resposta

Sim, o método dos coeficientes indeterminados, juntamente com a superposição, pode ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.

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