Nos problemas 9-16, decida se o método dos coeficientes indeterminados junto com a superposição podem ser aplicados para encontrar uma solução particular da equação dada. Não resolva a equação.
2 y^prime prime+3 y^prime-4 y=2 t+sen^2 t+3

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y''+3y'-4y = 2t + sin^2 t + 3
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados para EDO não homogênea e a superposição de particularidades.

Passo 2

Observamos que o segundo termo do lado direito não está na forma imediata P(t)e^at nem sin(omega t) ou cos(omega t), mas usamos a identidade trigonométrica
sin^2 t = 1-cos(2t)2
para reescrever
2t + sin^2 t + 3 = 2t + 12 - cos(2t)2 + 3 = 2t + 72 - cos(2t)2

Passo 3

Agora o termo fonte está como soma de um polinômio de grau 1 e de uma combinação de cos(2t) (e implicitamente sin(2t) via fase). O método dos coeficientes indeterminados exige que essas funções não coincidam com soluções da homogênea. A equação característica
2r^2+3r-4=0
tem raízes reais distintas r=-3pmraiz414, que não são 0 nem pm 2i. Logo não há ressonância com t, constantes, sin(2t) ou cos(2t).

Passo 4

Como o lado direito é combinação de polinômio de grau 1, constante, cos(2t) e sin(2t), e nenhuma dessas funções faz parte da solução geral da homogênea, podemos aplicar o método dos coeficientes indeterminados somando as propostas particulares (superposição).

Resposta

Sim. O método dos coeficientes indeterminados e superposição podem ser aplicados a
2y''+3y'-4y = 2t + sin^2 t + 3

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