Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
O PVI é dado por x′+(10−8)x=2 e^{4t}, x(0)=0. Isso é uma EDO linear de 1ª ordem; vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro simplificamos o coeficiente: 10−8=2, então a equação fica x′+2x=2 e^{4t}. O fator integrante é μ(t)=e^{∫2 dt}=e^{2t}.
Passo 3
Multiplicamos a equação por μ(t). Isso faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto:
Integrando ambos os lados em relação a t, temos
e daí obtemos a solução geral
Passo 4
Aplicamos a condição inicial x(0)=0: substituindo t=0, 0=\tfrac{1}{3}+C, logo C=−\tfrac{1}{3}.
Resposta
x(t)=\tfrac{1}{3}\bigl(e{4t}-e{-2t}\bigr)