Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
x^prime+(10-8) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

O PVI é dado por x′+(10−8)x=2 e^{4t}, x(0)=0. Isso é uma EDO linear de 1ª ordem; vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro simplificamos o coeficiente: 10−8=2, então a equação fica x′+2x=2 e^{4t}. O fator integrante é μ(t)=e^{∫2 dt}=e^{2t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação por μ(t). Isso faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto:
l(e^2txr)'=2 e^4t,e^2t=2 e^6t
Integrando ambos os lados em relação a t, temos
e^2tx=integral2 e^6tdt=13e^6t+C
e daí obtemos a solução geral
x=13e^4t+C e^-2t

Passo 4

Aplicamos a condição inicial x(0)=0: substituindo t=0, 0=\tfrac{1}{3}+C, logo C=−\tfrac{1}{3}.

Resposta

x(t)=\tfrac{1}{3}\bigl(e{4t}-e{-2t}\bigr)

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