Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
d yd x=x^2 e^-4 x-4 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
d yd x=x^2e^-4x-4y
Este é um caso de equação linear de primeira ordem, que podemos escrever na forma
d yd x+4y = x^2e^-4x
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x)=e^integral 4,dx=e^4x
Multiplicando toda a equação por mu(x) obtemos
e^4xd yd x +4y,e^4x = x^2e^-4xe^4x = x^2

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,e^4x, pois
ddxl(y,e^4xr) = e^4xd yd x +4y,e^4x
Logo a equação vira
ddxl(y,e^4xr)=x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(y,e^4xr),dx = integral x^2,dx Longrightarrow y,e^4x = x^33 + C,
onde C é a constante de integração. Basta agora isolar y:
y = e^-4xl(x^33+Cr) = x^33e^-4x + C,e^-4x

Resposta

y(x) = e^-4xl(x^33+Cr)

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