Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
12 d yd x=raizy+1 cos x, y(pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem tfrac12dydx=raizy+1cos x com a condição inicial y(pi)=0. O conteúdo é EDO separável, e vamos precisar usar separação de variáveis e integrar ambos os lados, depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando dydx e separando as variáveis:
dydx=2raizy+1cos x
Logo,
12raizy+1,dy=cos x,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral12raizy+1,dy=integralcos x,dx
O lado esquerdo é a derivada de raizy+1, e o direito é sin x. Assim:
raizy+1=sin x+C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(pi)=0:
raiz0+1=1=sinpi+C=0+C
Logo C=1, ficando:
raizy+1=sin x+1

Passo 5

Elevando ao quadrado e isolando y:
$$
y+1=(\sin x+1)^2$$
$$
y=(\sin x+1)^2-1$$

Resposta

y(x)=sin^2x+2sin x

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