Nos problemas 7-16, resolva a equação.
d xd t=tx e^t+2 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial onde a derivada de em relação a é igual a . O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais separáveis. Para resolver esse tipo de equação, vamos separar as variáveis e de lados opostos da equação e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Começamos com a equação dada:
dxdt = tx e^t + 2x
Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por x e^t + 2x dxdt = t :
Isso rearranja a equação de forma que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro.

Passo 3

Agora, reescrevemos a equação para facilitar a integração:
x e^2x e^t dx = t dt
Aqui, utilizamos a propriedade dos expoentes para separar em .

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
integral x e^2x dx = integral t e^-t dt
Do lado esquerdo, integramos em relação a e do lado direito, em relação a .

Passo 5

Resolvemos as integrais uma de cada vez. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral x e^2x dx
Usamos a técnica de integração por partes, onde x e^2x2 - e^2x4 + C1 e . Após a aplicação, obtemos:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral do lado direito:
integral t e^-t dt
Novamente, aplicamos integração por partes, onde - t e^-t - e^-t + C2 e . O resultado é:

Passo 7

Igualamos as duas integrais, lembrando que as constantes de integração podem ser combinadas em uma única constante x e^2x2 - e^2x4 = - t e^-t - e^-t + C :
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x e^2x2 - e^2x4 = - t e^-t - e^-t + C
onde é a constante de integração.

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