Nos problemas
, resolva a equação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial onde a derivada de
em relação a
é igual a
. O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais separáveis. Para resolver esse tipo de equação, vamos separar as variáveis
e
de lados opostos da equação e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Começamos com a equação dada:
Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por
:
Isso rearranja a equação de forma que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro.
Passo 3
Agora, reescrevemos a equação para facilitar a integração:
Aqui, utilizamos a propriedade dos expoentes para separar
em
.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, integramos em relação a
e do lado direito, em relação a
.
Passo 5
Resolvemos as integrais uma de cada vez. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Usamos a técnica de integração por partes, onde
e
. Após a aplicação, obtemos:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Novamente, aplicamos integração por partes, onde
e
. O resultado é:
Passo 7
Igualamos as duas integrais, lembrando que as constantes de integração podem ser combinadas em uma única constante
:
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.