Nos problemas 17-20, determine o rotacional e o divergente do campo vetorial indicado.
\boldsymbol{F}(x, y, z)=x^{2} \operatorname{sen}(y z) \boldsymbol{i}+z \cos \left(x z^{3}\right) \boldsymbol{j}+y e^{5 x y} \boldsymbol{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\sin(yz)\,\mathbf{i}+z\cos\bigl(xz^{3}\bigr)\,\mathbf{j}+y\,e^{5xy}\,\mathbf{k}
e pede para determinar o rotacional \nabla\times\mathbf{F} e o divergente \nabla\cdot\mathbf{F}. Vamos usar as definições clássicas de cálculo vetorial.

Passo 2

A definição do divergente é
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_{1}}{\partial x} +\frac{\partial F_{2}}{\partial y} +\frac{\partial F_{3}}{\partial z}
e a do rotacional é
\nabla\times\mathbf{F} =\biggl(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\biggr)\mathbf{i} +\biggl(\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\biggr)\mathbf{j} +\biggl(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\biggr)\mathbf{k}.

Passo 3

Calculemos primeiramente as derivadas parciais para o divergente:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x^{2}\sin(yz)\bigr] =2x\sin(yz),
\frac{\partial F_{2}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[z\cos(xz^{3})\bigr] =0,
\frac{\partial F_{3}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl[y\,e^{5xy}\bigr] =0.

Passo 4

Logo, o divergente é
\nabla\cdot\mathbf{F} =2x\sin(yz)+0+0 =2x\sin(yz).

Passo 5

Agora as derivadas parciais que entram no rotacional:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[y\,e^{5xy}\bigr] =e^{5xy}+5xy\,e^{5xy} =e^{5xy}(1+5xy),
\frac{\partial F_{2}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl[z\cos(xz^{3})\bigr] =\cos(xz^{3})-3xz^{3}\sin(xz^{3}),
\frac{\partial F_{1}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl[x^{2}\sin(yz)\bigr] =x^{2}y\cos(yz),
\frac{\partial F_{3}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[y\,e^{5xy}\bigr] =5y^{2}e^{5xy},
\frac{\partial F_{2}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[z\cos(xz^{3})\bigr] =-z^{4}\sin(xz^{3}),
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[x^{2}\sin(yz)\bigr] =x^{2}z\cos(yz).

Passo 6

Substituindo em \nabla\times\mathbf{F}, obtemos
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl[e^{5xy}(1+5xy)-\bigl(\cos(xz^{3})-3xz^{3}\sin(xz^{3})\bigr)\bigr]\mathbf{i}
\quad+\bigl[x^{2}y\cos(yz)-5y^{2}e^{5xy}\bigr]\mathbf{j} +\bigl[-z^{4}\sin(xz^{3})-x^{2}z\cos(yz)\bigr]\mathbf{k}.

Resposta

O divergente é
\nabla\cdot\mathbf{F}=2x\sin(yz),
e o rotacional é
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl[e^{5xy}(1+5xy)-\cos(xz^{3})+3xz^{3}\sin(xz^{3})\bigr]\mathbf{i}
\quad+\bigl[x^{2}y\cos(yz)-5y^{2}e^{5xy}\bigr]\mathbf{j} +\bigl[-z^{4}\sin(xz^{3})-x^{2}z\cos(yz)\bigr]\mathbf{k}.

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