Nos Problemas 17-20 verifique se a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Suponha um intervalo I apropriado para cada solução.
\frac{d P}{d t}=P(1-P) ; \quad P=\frac{c_{1} e^{t}}{1+c_{1} e^{t}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dP}{dt} = P(1-P)
e uma família de funções
P(t)=\frac{c_{1}e^{t}}{1+c_{1}e^{t}},
onde c_{1} é constante arbitrária. O que se pede: verificar se cada função dessa família satisfaz a equação diferencial em um intervalo apropriado I. Informação importante a listar: a expressão de P(t) tem denomindador 1+c_{1}e^{t}, logo a função só está definida quando 1+c_{1}e^{t}\neq 0.

Passo 2

Plano para verificar: para cada c_{1} calculamos \dfrac{dP}{dt} diretamente a partir de P(t) e comparamos com P(1-P). Se as duas expressões coincidirem para todos t no domínio onde P está definida, então a família é solução da EDO nesse domínio. Vou fazer isso passo a passo, explicando as regras de diferenciação usadas.

Passo 3

Para simplificar a diferenciação, definimos a função auxiliar
u(t)=c_{1}e^{t}.
Observação: u'(t)=\dfrac{du}{dt}=c_{1}e^{t}=u(t) porque a derivada de e^{t} é e^{t} e c_{1} é constante. Reescrevemos P em termos de u:
P(t)=\frac{u}{1+u}.
Agora diferenciamos P em relação a t. Usamos a regra da cadeia combinada com a regra do quociente, mas aqui há um atalho rápido: se P=\dfrac{u}{1+u} então
\frac{dP}{dt}=\frac{u'}{(1+u)^{2}},
porque a derivada de \dfrac{u}{1+u} é \dfrac{u'(1+u)-u\cdot u'}{(1+u)^{2}}=\dfrac{u'}{(1+u)^{2}}. Substituindo u'=u obtemos
\frac{dP}{dt}=\frac{u}{(1+u)^{2}}.

Passo 4

Voltando à variável original t e à constante c_{1}, temos u=c_{1}e^{t}, então
\frac{dP}{dt}=\frac{c_{1}e^{t}}{\bigl(1+c_{1}e^{t}\bigr)^{2}}.
Agora calculamos o lado direito da equação diferencial usando P. Primeiro escrevemos 1-P:
1-P=1-\frac{u}{1+u}=\frac{1+u-u}{1+u}=\frac{1}{1+u}.
Multiplicando P(1-P)
P(1-P)=\frac{u}{1+u}\cdot\frac{1}{1+u}=\frac{u}{(1+u)^{2}}.
Isto é exatamente a mesma expressão que encontramos para \dfrac{dP}{dt}.

Passo 5

Conclusão da verificação: para todo t onde P(t) está definida (isto é, onde 1+c_{1}e^{t}\neq 0) temos
\frac{dP}{dt}=P(1-P).
Portanto a família dada realmente satisfaz a equação diferencial nos intervalos onde o denominador não se anula.

Passo 6

Comentário sobre os intervalos I apropriados (domínio da solução):
  • Se c_{1}=0 então P(t)=0 para todo t, e essa é a solução trivial definida em \mathbb{R}.
  • Se c_{1}>0 então 1+c_{1}e^{t}>0 para todo t, logo a solução está definida em \mathbb{R}.
  • Se c_{1}<0 existe um ponto t_{0} tal que 1+c_{1}e^{t_{0}}=0, precisamente
t_{0}=\ln\bigl(-1/c_{1}\bigr).
Nesse caso a solução está definida em qualquer intervalo I que não contenha t_{0}; tipicamente tomamos I=(-\infty,t_{0}) ou I=(t_{0},+\infty).
Observação final: a família dada é a forma explícita (com constante c_{1}) da solução do chamado modelo logístico com taxa 1.

Resposta

Sim. A família \displaystyle P(t)=\frac{c_{1}e^{t}}{1+c_{1}e^{t}} satisfaz \dfrac{dP}{dt}=P(1-P) em qualquer intervalo I onde 1+c_{1}e^{t}\neq 0. Se c_{1}=0 então P\equiv 0 (definida em \mathbb{R}); se c_{1}>0 a solução está definida em \mathbb{R}; se c_{1}<0 deve-se excluir t_{0}=\ln(-1/c_{1}) do domínio (usar intervalos que não contenham t_{0}).

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