Nos Problemas 17-20 verifique se a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Suponha um intervalo I apropriado para cada solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e uma família de funções
onde
é constante arbitrária. O que se pede: verificar se cada função dessa família satisfaz a equação diferencial em um intervalo apropriado
. Informação importante a listar: a expressão de
tem denomindador
, logo a função só está definida quando
.
Passo 2
Plano para verificar: para cada
calculamos
diretamente a partir de
e comparamos com
. Se as duas expressões coincidirem para todos
no domínio onde
está definida, então a família é solução da EDO nesse domínio. Vou fazer isso passo a passo, explicando as regras de diferenciação usadas.
Passo 3
Para simplificar a diferenciação, definimos a função auxiliar
Observação:
porque a derivada de
é
e
é constante. Reescrevemos
em termos de
:
Agora diferenciamos
em relação a
. Usamos a regra da cadeia combinada com a regra do quociente, mas aqui há um atalho rápido: se
então
porque a derivada de
é
. Substituindo
obtemos
Passo 4
Voltando à variável original
e à constante
, temos
, então
Agora calculamos o lado direito da equação diferencial usando
. Primeiro escrevemos
:
Multiplicando
dá
Isto é exatamente a mesma expressão que encontramos para
.
Passo 5
Conclusão da verificação: para todo
onde
está definida (isto é, onde
) temos
Portanto a família dada realmente satisfaz a equação diferencial nos intervalos onde o denominador não se anula.
Passo 6
Comentário sobre os intervalos
apropriados (domínio da solução):
- Se
então para todo , e essa é a solução trivial definida em . - Se
então para todo , logo a solução está definida em . - Se
existe um ponto tal que , precisamente
Nesse caso a solução está definida em qualquer intervalo
que não contenha
; tipicamente tomamos
ou
.
Observação final: a família dada é a forma explícita (com constante ) da solução do chamado modelo logístico com taxa
.
Observação final: a família dada é a forma explícita (com constante
Resposta
Sim. A família
satisfaz
em qualquer intervalo
onde
. Se
então
(definida em
); se
a solução está definida em
; se
deve-se excluir
do domínio (usar intervalos que não contenham
).