Nos problemas 17-22, ache um soluçâo geral para a equaçalo diferencial.
y^prime prime-y=-11 t+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - y = -11,t + 1
O método é decompor a solução em parte complementar (solução da homogênea) e parte particular (uma solução específica da não homogênea).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
y'' - y = 0
A equação característica é
r^2 - 1 = 0,
cuja raízes são r = 1 e r = -1. Logo, a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-t,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, buscamos uma solução particular yp(t) da equação completa. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em t, tentamos
yp(t) = A,t + B
Calculando derivadas:
yp'(t) = A, yp''(t) = 0
Substituindo em y'' - y:
0 - (A,t + B) = -A,t - B stackrel!= -11,t + 1
Igualando coeficientes de t e termo constante:
-A = -11 implies A = 11,
-B = 1 implies B = -1
Portanto
yp(t) = 11,t - 1

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-t + 11,t - 1

Resposta

y(t) = C1 e^t + C2 e^-t + 11,t - 1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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