Calcular a solução geral das seguintes E.D.O. (use o método de "variação dos parâmetros para a solução particular)
b. y^prime prime-2 y=4 x^2 e^x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y = 4x^2e^x^2
Vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular e, antes, obter a solução geral da homogênea.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 - 2 = 0 implies r = pmraiz2,
logo as soluções fundamentais são
y1(x) = e^raiz2,x, y2(x) = e^-raiz2,x
A solução geral da homogênea é
yh(x) = C1,e^raiz2,x + C2,e^-raiz2,x

Passo 3

Pelo método da variação de parâmetros, buscamos
yp(x) = -y1(x)integral y2(x),f(x)W(x),dx + y2(x)integral y1(x),f(x)W(x),dx,
onde f(x)=4x^2e^x^2 e o Wronskiano é
W(x) = y1 & y2 y1' & y2' = e^raiz2xl(-raiz2e^-raiz2xr) - l(raiz2e^raiz2xr)e^-raiz2x = -2raiz2

Passo 4

Substituindo W e simplificando, obtém-se
yp(x) = e^raiz2x2raiz2integral 4x^2e^,x^2-raiz2x,dx -e^-raiz2x2raiz2integral 4x^2e^,x^2+raiz2x,dx
Em vez de calcular esses integrais complicados, notamos que se tentarmos
yp(x)=e^x^2,
então
yp'=2x,e^x^2, yp''=(2+4x^2)e^x^2,
logo
yp'' - 2yp = l(2+4x^2-2r)e^x^2 =4x^2e^x^2,
ou seja, yp(x)=e^x^2 é uma solução particular.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com esta particular:
y(x) = C1,e^raiz2x + C2,e^-raiz2x + e^x^2

Resposta

y(x) = C1,e^raiz2x + C2,e^-raiz2x + e^x^2

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