Nos problemas 17-22, ache um soluçâo geral para a equaçalo diferencial.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 t^2-5

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'-3y = 3t^2 - 5
Esse tipo de problema envolve duas etapas principais:
  1. resolver a equação homogênea associada para obter yh e
  2. encontrar uma solução particular yp por coeficientes indeterminados, já que o termo forçante é um polinômio de grau 2.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y''-2y'-3y=0
e montamos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo,
r = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
logo r1=3 e r2=-1. Assim
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 3t^2 - 5, tentamos uma solução particular polinomial de grau 2:
yp(t) = a,t^2 + b,t + c
Calculamos as derivadas:
yp' = 2a,t + b, yp'' = 2a

Passo 4

Substituindo em y''-2y'-3y = 3t^2 -5
2a - 2(2a,t + b) - 3(a,t^2 + b,t + c) = 3t^2 - 5
Expandindo e agrupando em potências de t:
-3a,t^2 + (-4a-3b),t + (2a - 2b - 3c) = 3,t^2 + 0cdot t - 5
Igualando coeficientes:
-3a = 3, -4a -3b = 0, 2a -2b -3c = -5,
resolve-se
a = -1, 4 - 3b = 0implies b = tfrac43, 2(-1) -2l(tfrac43r) -3c = -5implies c = tfrac19

Passo 5

A solução particular fica
yp(t) = -,t^2 + tfrac43,t + tfrac19,
e a solução geral é a soma
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - t^2 + tfrac43t + tfrac19

Resposta

y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - t^2 + tfrac43,t + tfrac19

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