(12) Estude a continuidade e a diferenciabilidade das funções abaixo no ponto

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a continuidade e a diferenciabilidade de
f(x)= x^2, & se x<=1, 1, & se x>1
no ponto p=1. Vamos usar os limites laterais para a continuidade e as derivadas laterais para a diferenciabilidade.

Passo 2

Para verificar continuidade em x=1 calculamos
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+1=1,
e como f(1)=1^2=1, temos
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=1,
logo f é contínua em x=1.

Passo 3

Para a diferenciabilidade, calculamos as derivadas laterais em x=1.
Se x<1, f(x)=x^2 e
f'-(1)=limhto0^-(1+h)^2-1^2h =limhto0^-1+2h+h^2-1h =limhto0^-(2+h)=2
Se x>1, f(x)=1 (constante) e
f'+(1)=limhto0^+1-1h=0
Como f'-(1)=2neq0=f'+(1), a derivada não existe em x=1.

Resposta

A função é contínua em p=1 e não é diferenciável em p=1.

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