Find the unit tangent vector T(t) at the point with the given value of the parameter t.
r(t)=lang<=tan ^-1 t, 2 e^2 t, 8 t e^trang<=, t=0

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=lang<= tan^-1t,;2e^2t,;8te^trang<=
e pede o vetor unitário tangente
T(t)=r'(t)/|r'(t)| no ponto t=0.
Para isso precisamos:
1. Calcular r'(t).
2. Avaliar r'(0).
3. Encontrar |r'(0)|.
4. Normalizar r'(0).

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t) =llang<= (tan^-1t)',;(2e^2t)',;(8te^t)'rrang<= =llang<= tfrac11+t^2,;4e^2t,;8e^t+8te^trrang<= =llang<= tfrac11+t^2,;4e^2t,;8e^t(1+t)rrang<=

Passo 3

Avalia em t=0:
r'(0)=llang<=tfrac11+0^2,;4e^0,;8e^0(1+0)rrang<= =lang<= 1,;4,;8rang<=

Passo 4

Calculamos o módulo de r'(0):
|r'(0)|=raiz1^2+4^2+8^2 =raiz1+16+64 =raiz81 =9

Passo 5

Normalizando, obtemos
T(0) =r'(0)|r'(0)| =19,lang<= 1,4,8rang<= =llang<=tfrac19,tfrac49,tfrac89rrang<=

Resposta

T(0)=llang<=tfrac19,tfrac49,tfrac89rrang<=

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