No Exemplo 2, a constante de decaimento para o isótopo R A_{1} foi 10 / \mathrm{s}, o que se expressa no expoente do termo da taxa 50 e^{-10 t} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Quando a constante de decaimento para R A_{2} é k=2 / \mathrm{s}, vemos que, na Fórmula (14) para y, o termo (185/4) e^{-2 t} acaba dominando (tem maior magnitude para t grande).
Refaça o Exemplo 2 considerando k=20 / \mathrm{s}. Agora, qual termo na solução acaba dominando?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Para o isótopo R A_{1} a constante de decaimento é \,10/\mathrm{s}\,, e aparece um termo na solução relacionado à taxa/quantia 50 e^{-10 t}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Para o isótopo R A_{2} consideramos a constante de decaimento \,k=20/\mathrm{s}\,. Na fórmula geral para y havia, no caso anterior, um termo \dfrac{185}{4}e^{-k t}; portanto agora esse termo é \dfrac{185}{4}e^{-20 t}.
    A pergunta é: ao refazer o Exemplo 2 com k=20/\mathrm{s}, qual termo na solução acaba dominando para t grande?

Passo 2

Conceito importante: quando temos uma soma de termos exponenciais do tipo A e^{-a t} e B e^{-b t} com a,b>0, o termo que domina para t\to\infty é o que decai mais lentamente, isto é, o que tem o menor coeficiente no expoente ( \min\{a,b\}). Exponenciais com expoente mais negativo (maior valor de a) vão a zero muito mais rápido; as diferenças de decaimento exponencial acabam superando diferenças nos coeficientes constantes quando t fica grande.

Passo 3

No nosso caso específico temos:
  • um termo 50 e^{-10 t} vindo de R A_{1};
  • um termo \dfrac{185}{4}e^{-20 t} vindo de R A_{2} com k=20.
Comparar apenas os expoentes já indica: 10<20, logo e^{-10 t} decai mais lentamente que e^{-20 t}. Mas vamos fazer a comparação formal por limite do quociente entre os termos.

Passo 4

Calcular o limite do quociente:
\lim_{t\to\infty}\frac{\tfrac{185}{4}e^{-20 t}}{50 e^{-10 t}} = \frac{185}{4\cdot 50}\lim_{t\to\infty}e^{-10 t} = \frac{185}{200}\cdot 0 = 0.
Como o quociente tende a 0, isso significa que \dfrac{185}{4}e^{-20 t} é desprezível em relação a 50 e^{-10 t} para t grande; portanto o termo com e^{-10 t} domina.

Passo 5

Comentário: mesmo que os coeficientes sejam parecidos ( 50 e 185/4\approx46{,}25), a diferença nas taxas de decaimento ( 10 versus 20) é o que determina o comportamento assintótico — sempre compare os expoentes; o menor expoente positivo vence para t\to\infty.

Resposta

O termo 50 e^{-10 t} (o que contém e^{-10 t}) é o que domina quando k=20/\mathrm{s}.

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