Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
d yd x=8 x^3 e^-2 y, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial dydx=8x^3e^-2y, y(1)=0. Esse é um problema de EDO de variáveis separáveis: vamos separar y e x e depois integrar.

Passo 2

Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por e^2y e por dx:
e^2y,dy=8x^3,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral e^2y,dy=integral 8x^3,dx

Passo 4

No lado esquerdo a integral de e^2y em relação a y é tfrac12e^2y. No lado direito, a integral de 8x^3 em relação a x é 2x^4, mais constante C:
$$\tfrac12e{2y}=2x4+C
$$

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1 e y=0:
$$\tfrac12e{0}=2\cdot14+C
$$

Passo 6

Como e^0=1, temos tfrac12=2+C, logo C=tfrac12-2=-tfrac32. Substituindo de volta:
$$\tfrac12e{2y}=2x4-\tfrac32
$$

Passo 7

Multiplicando por 2 e isolando y:
e^2y=4x^4-3

Passo 8

2y=ln(4x^4-3)

Passo 9

y=12ln(4x^4-3)

Resposta

y(x)=tfrac12lnl(4x^4-3r)

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