Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
x^2 d yd x=4 x^2-x-2(x+1)(y+1), y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x^2,dydx = 4x^2 - x - 2(x+1)(y+1), y(1)=1.
Conteúdo: equação diferencial de variáveis separáveis e frações parciais. Vamos usar separação de variáveis, decompor em frações parciais, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro isolamos os termos em y de um lado e em x do outro. Dividindo ambos os lados por x^2(y+1) e multiplicando por dx obtemos
(y+1),dy = 4x^2 - x - 2x^2(x+1),dx

Passo 3

Para integrar o lado direito precisamos decompor
4x^2 - x - 2x^2(x+1) = Ax + Bx^2 + Cx+1
Igualando numeradores:
4x^2 - x - 2 = A x(x+1) + B(x+1) + C x^2 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B
Comparando coeficientes obtemos
B = -2, A + B = -1 Rightarrow A=1, A + C = 4 Rightarrow C=3
Então
4x^2 - x - 2x^2(x+1) = 1x - 2x^2 + 3x+1

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
Esquerda:
integral (y+1),dy = 12y^2 + y + C1
Direita:
integral l(1x - 2x^2 + 3x+1r)dx = ln|x| + 2x + 3ln|x+1| + C2
Juntando constantes em C:
12y^2 + y = ln x + 2x + 3ln(x+1) + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=1. Para x=1, y=1:
12(1)^2 + 1 = 32,
ln1 + 21 + 3ln2 + C = 0 + 2 + 3ln2 + C
Igualando:
32 = 2 + 3ln2 + C Rightarrow C = -12 - 3ln2

Passo 6

Substituindo de volta, a solução implícita final fica
12y^2 + y = ln x + 2x + 3ln(x+1) - 12 - 3ln2

Resposta

tfrac12y^2 + y = ln x + tfrac2x + 3ln(x+1) - tfrac12 - 3ln2

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