Se f tiver derivadas parciais de segunda ordem contínuas em (a, b), então o polinômio de Taylor de segundo grau de f em (a, b) é
Pf(x, y) & =f(a, b)+fx(a, b)(x-a)+fy(a, b)(y-b)+12 fx x(a, b)(x-a)^2 & +fx y(x-a)(y-b)+12 fy y(a, b)(y-b)^2
Determine o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função:
f(x, y)=x e^y em (0,1)

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos o polinômio de Taylor de segunda ordem de f(x,y)=x e^y em (0,1). Para isso, vamos usar a fórmula geral que envolve f, suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem no ponto (a,b)=(0,1).

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem: a partir de f(x,y)=x e^y temos
fx(x,y)=e^y,
fy(x,y)=x e^y

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem: diferenciando novamente obtemos
fxx(x,y)=0,
fxy(x,y)=partialpartial y(fx)=partialpartial y(e^y)=e^y,
fyy(x,y)=partialpartial y(fy)=partialpartial y(x e^y)=x e^y

Passo 4

Avaliação das derivadas no ponto (0,1):
f(0,1)=0cdot e^1=0,
fx(0,1)=e^1=e,
fy(0,1)=0cdot e^1=0,
fxx(0,1)=0,
fxy(0,1)=e^1=e,
fyy(0,1)=0cdot e^1=0

Passo 5

Substituição na fórmula de Taylor de segunda ordem:
Começando de
Pf(x,y)=f(0,1)+fx(0,1)(x-0)+fy(0,1)(y-1)+tfrac12fxx(0,1)(x-0)^2 +fxy(0,1)(x-0)(y-1)+tfrac12fyy(0,1)(y-1)^2,
temos
Pf(x,y)=0+e,(x)+0+0+e,x(y-1)+0=e x+e x(y-1)
Simplificando, e x+e x(y-1)=e x y

Resposta

Pf(x,y)=e,x,y

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