Se
tiver derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
, então o polinômio de Taylor de segundo grau de
em
é
Determine o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função:
em
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos o polinômio de Taylor de segunda ordem de
em
. Para isso, vamos usar a fórmula geral que envolve
, suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem no ponto
.
Passo 2
Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem: a partir de
temos
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de segunda ordem: diferenciando novamente obtemos
Passo 4
Avaliação das derivadas no ponto
:
Passo 5
Substituição na fórmula de Taylor de segunda ordem:
Começando de
Começando de
temos
Simplificando,