Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
y^prime=(x^2+2 y^2) / x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Primeiro, o enunciado pede para verificar se a equação é de coeficientes homogêneos e, se for, resolver. A equação que temos é:
y' = x^2 + 2 y^2x y
Vamos precisar entender o que são equações homogêneas e como resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de coeficientes homogêneos. Uma equação é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau quando você considera $ y $ e $ x $. Isso geralmente permite fazer uma substituição para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos verificar se a nossa equação $ y’ = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y} $ é homogênea. Olhando para os termos no numerador:
  • $ x^{2} $ tem grau 2 (porque $ x $ está elevado ao quadrado).
  • $ 2 y^{2} $ também tem grau 2 (porque $ y $ está elevado ao quadrado).
No denominador $ x y $, o grau total é 1 (de $ x $) + 1 (de $ y $) = 2. Então, todos os termos têm grau 2. Isso confirma que a equação é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando uma substituição comum para essas equações. Vamos definir:
z = yx
Isso significa que $ y = z x $. Agora, precisamos encontrar $ y’ $ em termos de $ z $ e $ x $.

Passo 5

Derivando $ y = z x $ em relação a $ x $:
y = z x
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original.

Passo 6

Substituindo na equação original:
z + x dzdx = x^2 + 2 (z x)^2x (z x)
Simplificando o lado direito:
x^2 + 2 z^2 x^2x^2 z = 1 + 2 z^2z
Então, a equação fica:
z + x dzdx = 1 + 2 z^2z

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para isolar $ \frac{dz}{dx} $:
dzdx
Simplificando o lado direito:
x dzdx = 1 + 2 z^2z - z
Então:
1 + 2 z^2 - z^2z = 1 + z^2z

Passo 8

Rearranjando para separar as variáveis $ z $ e $ x $:
z
Isso nos permite integrar ambos os lados.

Passo 9

Vamos integrar os dois lados:
integral z , dz = integral 1 + z^2x , dx
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral z , dz = z^22 + C
Agora, o lado direito:
integral 1 + z^2x , dx
Aqui, percebemos que a integração está um pouco complicada. Vamos reconsiderar a separação das variáveis.

Passo 10

Voltando à equação antes da separação:
x dzdx = 1 + z^2z
Podemos rearranjar para:
dzdx = 1 + z^2z x
Agora, separamos as variáveis de forma adequada:
z , dz = 1 + z^2x , dx
Ainda assim, para resolver isso, precisamos reconhecer que pode ser uma equação diferencial exata ou buscar outra substituição. Vamos simplificar o processo.

Passo 11

Na verdade, é mais simples rearranjar essa equação para termos em termos de $ z $ e $ x $:
z
x
Essa é uma equação diferencial de Bernoulli, que pode ser resolvida por substituição.

Passo 12

Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos a substituição $ v = z^{2} $. Então, $ \frac{dv}{dx} = 2 z \frac{dz}{dx} $.
Vamos aplicar isso na equação:
v = z^2
Como $ v = z^{2} $, substituímos:
dvdx = 2 z dzdx

Passo 13

Agora, temos uma equação linear em $ v $:
v
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
dvdx - 2 vx = 2x

Passo 14

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante $ x^{-2} $:
x^-2
Isso simplifica para:
x^-2 dvdx - 2 vx^3 = 2x^3

Passo 15

Integrando ambos os lados:
v x^-2 = integral 2x^3 dx
v x^-2 = -1x^2 + C
Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
x^2
Lembrando que $ v = z^{2} $ e $ z = \frac{y}{x} $:
v = -1 + C x^2

Passo 16

Resolvendo para $ y $:
y
Multiplicando por $ x^{2} $:
y^2x^2 = -1 + C x^2
Tomando a raiz quadrada:
x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = pm x raizC x^2 - 1
onde $ C $ é a constante de integração.

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