Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Primeiro, o enunciado pede para verificar se a equação é de coeficientes homogêneos e, se for, resolver. A equação que temos é:
Vamos precisar entender o que são equações homogêneas e como resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de coeficientes homogêneos. Uma equação é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau quando você considera $ y $ e $ x $. Isso geralmente permite fazer uma substituição para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos verificar se a nossa equação $ y’ = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y} $ é homogênea. Olhando para os termos no numerador:
- $ x^{2} $ tem grau 2 (porque $ x $ está elevado ao quadrado).
- $ 2 y^{2} $ também tem grau 2 (porque $ y $ está elevado ao quadrado).
No denominador $ x y $, o grau total é 1 (de $ x $) + 1 (de $ y $) = 2. Então, todos os termos têm grau 2. Isso confirma que a equação é homogênea.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando uma substituição comum para essas equações. Vamos definir:
Isso significa que $ y = z x $. Agora, precisamos encontrar $ y’ $ em termos de $ z $ e $ x $.
Passo 5
Derivando $ y = z x $ em relação a $ x $:
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original.
Passo 6
Substituindo na equação original:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para isolar $ \frac{dz}{dx} $:
Simplificando o lado direito:
Então:
Passo 8
Rearranjando para separar as variáveis $ z $ e $ x $:
Isso nos permite integrar ambos os lados.
Passo 9
Vamos integrar os dois lados:
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Aqui, percebemos que a integração está um pouco complicada. Vamos reconsiderar a separação das variáveis.
Passo 10
Voltando à equação antes da separação:
Podemos rearranjar para:
Agora, separamos as variáveis de forma adequada:
Ainda assim, para resolver isso, precisamos reconhecer que pode ser uma equação diferencial exata ou buscar outra substituição. Vamos simplificar o processo.
Passo 11
Na verdade, é mais simples rearranjar essa equação para termos em termos de $ z $ e $ x $:
Essa é uma equação diferencial de Bernoulli, que pode ser resolvida por substituição.
Passo 12
Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos a substituição $ v = z^{2} $. Então, $ \frac{dv}{dx} = 2 z \frac{dz}{dx} $.
Vamos aplicar isso na equação:
Como $ v = z^{2} $, substituímos:
Passo 13
Agora, temos uma equação linear em $ v $:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 14
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante $ x^{-2} $:
Isso simplifica para:
Passo 15
Integrando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
Lembrando que $ v = z^{2} $ e $ z = \frac{y}{x} $:
Passo 16
Resolvendo para $ y $:
Multiplicando por $ x^{2} $:
Tomando a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é a constante de integração.