Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
y^prime=x^3(1-y), y(0)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a seguinte equação diferencial:
y' = x^3(1 - y), y(0) = 3
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, e para resolver, vamos precisar usar métodos de solução para equações lineares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear. A forma geral é:
y' + P(x)y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
y' = x^3(1 - y) Rightarrow y' + x^3y = x^3
Então, temos:
P(x) = x^3 e Q(x) = x^3

Passo 3

Para resolver essa equação linear, a gente usa o fator integrante, que é uma função que vai multiplicar a equação para facilitar a solução. O fator integrante, mu(x), é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular isso:
mu(x) = e^integral x^3 dx = e^x^44

Passo 4

Agora que temos o fator integrante, vamos multiplicar toda a equação original por mu(x):
e^x^44 y' + e^x^44 x^3 y = e^x^44 x^3
A razão disso é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto de mu(x) e y:
ddx( e^x^44 y ) = e^x^44 x^3

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação com respeito a x:
integral ddx( e^x^44 y ) dx = integral e^x^44 x^3 dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
e^x^44 y = integral e^x^44 x^3 dx + C

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Observando que:
integral e^x^44 x^3 dx
Fazendo a substituição u = x^44, temos du = x^3 dx. Então, a integral fica:
integral e^u du = e^u + C = e^x^44 + C

Passo 7

Substituindo de volta na equação, temos:
e^x^44 y = e^x^44 + C
Para isolar y, dividimos ambos os lados por e^x^44:
y = 1 + C e^-x^44

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 3 para encontrar a constante C:
3 = 1 + C e^0 Rightarrow 3 = 1 + C Rightarrow C = 2

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = 1 + 2 e^-x^44

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