Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, e para resolver, vamos precisar usar métodos de solução para equações lineares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:
Então, temos:
Passo 3
Para resolver essa equação linear, a gente usa o fator integrante, que é uma função que vai multiplicar a equação para facilitar a solução. O fator integrante,
, é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Agora que temos o fator integrante, vamos multiplicar toda a equação original por
:
A razão disso é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto de
e
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação com respeito a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito. Observando que:
Fazendo a substituição
, temos
. Então, a integral fica:
Passo 7
Substituindo de volta na equação, temos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: