Resolva as equações diferenciais.
(x-1) d y-y d x=(x-1)^2 e^yx-1 d x

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial (x-1),dy - y,dx = (x-1)^2 e^yx-1,dx. Isso é uma EDO de primeira ordem não linear em y(x). Vamos usar as mudanças de variável t = x-1 e depois u = y/t para simplificar.

Passo 2

Dividindo a equação original por dx, ficamos com
(x-1)dydx = y + (x-1)^2 e^yx-1,
e depois dividindo por x-1 chegamos a
dydx = yx-1 + (x-1)e^yx-1

Passo 3

Fazendo a mudança de variável t = x-1, temos dt/dx = 1, então
dydx = dydt,
e a equação vira
dydt = yt + t e^yt

Passo 4

Agora introduzimos u = yt, ou seja y = t,u. Pela regra do produto,
dydt = u + tdudt

Passo 5

Substituindo na equação em t:
u + tdudt = t ut + t e^u = u + t e^u

Passo 6

Cancelando u dos dois lados, obtemos
tdudt = t e^u Longrightarrow dudt = e^u,
que é uma EDO separável.

Passo 7

Separamos variáveis e integramos:
integral e^-u,du = integral dt Longrightarrow -e^-u = t + C

Passo 8

Revertendo u = y/t e t = x-1, a solução implícita geral fica
-e^-yx-1 = (x-1) + C,
que podemos reescrever como
e^-yx-1 + (x-1) = C'

Resposta

e^-yx-1 + (x-1) = C

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