Nos problemas 19 e 20, determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tern uma solução da forma y=t^{r} para t>0.
t^{2} y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de r tais que a equação diferencial
t^{2}y''-4t\,y'+4y=0
admita uma solução da forma y=t^{r} para t>0. Este é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy, em que fazemos a suposição y=t^{r} e derivamos a chamada equação característica em r.

Passo 2

Supondo y=t^{r}, calculamos as derivadas necessárias:
y'=r\,t^{r-1},\qquad y''=r(r-1)\,t^{r-2}.

Passo 3

Substituindo em t^{2}y''-4t\,y'+4y=0 obtemos
t^{2}\bigl[r(r-1)\,t^{r-2}\bigr]-4t\bigl[r\,t^{r-1}\bigr]+4\bigl[t^{r}\bigr]=0
o que simplifica para
r(r-1)\,t^{r}-4r\,t^{r}+4\,t^{r}=0 \;\Longrightarrow\; \bigl[r(r-1)-4r+4\bigr]\,t^{r}=0.
Como t^{r}\neq0 para t>0, temos a equação característica
r(r-1)-4r+4=0 \;\Longrightarrow\; r^{2}-5r+4=0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática
r^{2}-5r+4=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2} =\frac{5\pm3}{2},
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r_{1}=\frac{5+3}{2}=4, \quad r_{2}=\frac{5-3}{2}=1.

Resposta

Os valores de r são r=1 e r=4.

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