Nos Problemas 19-36, use o Teorema 7.1.1 para determinar \mathcal{L}\{f(t)\}.
19. f(t)=2 t^{4}
Passo 1
O enunciado dá a função f(t)=2\,t^{4} e pede para determinar \mathcal{L}\{f(t)\}, isto é, a transformada de Laplace de f. Informação relevante fornecida:
A função é f(t)=2\,t^{4} definida para t\ge 0 (assumimos o domínio usual para transformada de Laplace).
O que se pede: calcular \mathcal{L}\{2\,t^{4}\}(s).
Passo 2
Definição útil (repasse básico): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
onde s é uma variável real (ou complexa) tal que a integral converga. Aqui:
t é a variável de tempo (domínio de integração).
s é o parâmetro da transformada; normalmente procuramos \mathcal{L}\{f\}(s) para valores de s que tornam a integral finita (geralmente s>0 para funções polinomiais multiplicadas por e^{-st}).
Passo 3
Enunciado exige usar o Teorema 7.1.1. Esse teorema (forma usual) afirma que, para todo inteiro n\ge 0,
n! (fatorial de n) significa n!=1\cdot2\cdot3\cdots n (por convenção 0!=1).
s^{n+1} é s elevado à potência n+1.
A condição s>0 garante que a integral \int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-st}\,dt converge, porque a exponencial e^{-st} decai rápido o suficiente para dominar o crescimento polinomial.
Passo 4
Rápida demonstração por indução (pra fixar a ideia de onde vem o teorema; é útil na prova):
Caso base n=0: \mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}=\dfrac{0!}{s^{1}}.
Passo indutivo: suponha \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}}. Para t^{n+1},
aplique integração por partes em \int_{0}^{\infty}t^{n+1}e^{-st}\,dt escolhendou=t^{n+1}\quad\Rightarrow\quad du=(n+1)t^{n}\,dt, \qquad dv=e^{-st}\,dt\quad\Rightarrow\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.Então\int_{0}^{\infty}t^{n+1}e^{-st}\,dt =\left. -\frac{t^{n+1}}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} +\frac{n+1}{s}\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-st}\,dt.O termo de fronteira vale 0 para s>0 (pois t^{n+1}e^{-st}\to0 quando t\to\infty). Logo\int_{0}^{\infty}t^{n+1}e^{-st}\,dt=\frac{n+1}{s}\cdot\frac{n!}{s^{n+1}}=\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}.Assim a fórmula geral se mantém por indução.
Passo 5
Aplicando o teorema ao nosso caso: primeiro aplicamos linearidade da transformada (propriedade básica):