Nos Problemas 19-36, use o Teorema 7.1.1 para determinar \mathcal{L}\{f(t)\}.
19. f(t)=2 t^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=2\,t^{4} e pede para determinar \mathcal{L}\{f(t)\}, isto é, a transformada de Laplace de f. Informação relevante fornecida:
  • A função é f(t)=2\,t^{4} definida para t\ge 0 (assumimos o domínio usual para transformada de Laplace).
  • O que se pede: calcular \mathcal{L}\{2\,t^{4}\}(s).

Passo 2

Definição útil (repasse básico): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável real (ou complexa) tal que a integral converga. Aqui:
  • t é a variável de tempo (domínio de integração).
  • s é o parâmetro da transformada; normalmente procuramos \mathcal{L}\{f\}(s) para valores de s que tornam a integral finita (geralmente s>0 para funções polinomiais multiplicadas por e^{-st}).

Passo 3

Enunciado exige usar o Teorema 7.1.1. Esse teorema (forma usual) afirma que, para todo inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad s>0.
Explicando cada parte:
  • t^{n} é a função potência de t.
  • n! (fatorial de n) significa n!=1\cdot2\cdot3\cdots n (por convenção 0!=1).
  • s^{n+1} é s elevado à potência n+1.
  • A condição s>0 garante que a integral \int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-st}\,dt converge, porque a exponencial e^{-st} decai rápido o suficiente para dominar o crescimento polinomial.

Passo 4

Rápida demonstração por indução (pra fixar a ideia de onde vem o teorema; é útil na prova):
  • Caso base n=0: \mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}=\dfrac{0!}{s^{1}}.
  • Passo indutivo: suponha \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}}. Para t^{n+1},
    aplique integração por partes em \int_{0}^{\infty}t^{n+1}e^{-st}\,dt escolhendo u=t^{n+1}\quad\Rightarrow\quad du=(n+1)t^{n}\,dt, \qquad dv=e^{-st}\,dt\quad\Rightarrow\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.Então \int_{0}^{\infty}t^{n+1}e^{-st}\,dt =\left. -\frac{t^{n+1}}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} +\frac{n+1}{s}\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-st}\,dt.O termo de fronteira vale 0 para s>0 (pois t^{n+1}e^{-st}\to0 quando t\to\infty). Logo \int_{0}^{\infty}t^{n+1}e^{-st}\,dt=\frac{n+1}{s}\cdot\frac{n!}{s^{n+1}}=\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}.Assim a fórmula geral se mantém por indução.

Passo 5

Aplicando o teorema ao nosso caso: primeiro aplicamos linearidade da transformada (propriedade básica):
\mathcal{L}\{2\,t^{4}\}(s)=2\;\mathcal{L}\{t^{4}\}(s).
Pelo Teorema 7.1.1 com n=4,
\mathcal{L}\{t^{4}\}(s)=\frac{4!}{s^{5}}.
Calcule 4!: \;4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24. Portanto
\mathcal{L}\{t^{4}\}(s)=\frac{24}{s^{5}}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator 2 que estava em f(t):
\mathcal{L}\{2\,t^{4}\}(s)=2\cdot\frac{24}{s^{5}}=\frac{48}{s^{5}}.
Condição de convergência: como discutido, essa fórmula vale para s>0.

Resposta

\mathcal{L}\{2\,t^{4}\}(s)=\dfrac{48}{s^{5}},\\ s>0

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